- Супермодулярность
-
Супермодулярность — обобщение свойства выпуклости функций числового аргумента на функционалы, определённые на множествах произвольной природы.
Функционал v, определённый на подмножествах множества N, называется супермодулярным, если для любых подмножеств
выполнено
.
Функционал называется модулярным, если данное условие выполнено как равенство. Функционал называется субмодулярным, если неравенство выполнено с обратным знаком.
Эквивалентное определение супермодулярности: для любого подмножества
, для любых
выполнено
.
Супермодулярность является более сильным свойством, нежели супераддитивность функционала. Любой супермодулярный функционал является супераддитивным.
Синергетическая интерпретация
В терминах синергетики супераддитивность функционала указывает на наличие синергетического эффекта от объединения двух систем. При этом супермодулярность свидетельствует о том, что величина синергетического эффекта от объединения возрастает с увеличением масштаба объединяемых систем (положительный эффект масштаба). Субмодулярность говорит о возникновении негативных синергетических эффектах с ростом масштаба систем (диссинергия). Модулярность функционала соответствует отсутствию синергетических эффектов при объединении систем.
Применение
Понятие супермодулярности используется в теории кооперативных игр для доказательства существования C-ядра. Согласно теореме Шепли, супермодулярность характеристической функции кооперативной игры является достаточным условием существования непустого C-ядра.
Источники
- Данилов В. И. Лекции по теории игр. — М.: Российская экономическая школа, 2002.
Категория:- Теория игр
Wikimedia Foundation. 2010.