Уравнения Петерсона ― Кодацци

Уравнения Петерсона ― Майнарди ― Кодацци ― уравнения, составляющие вместе с уравнением Гаусса необходимые и достаточные условия интегрируемости системы, к которой сводится задача восстановления поверхности по её первой и второй квадратичным формам.

Уравнения

Уравнения Петерсона ― Майнарди ― Кодацци имеют вид

$\frac{\partial b_{i1}}{\partial u^2} +\Gamma^1_{i1}b_{12}+\Gamma^2_{i1}b_{22}= \frac{\partial b_{i2}}{\partial u^1} +\Gamma^1_{i2}b_{11}+\Gamma^2_{i2}b_{21}$

где $b_{ij}$ ― коэффициенты второй квадратичной формы, $\Gamma^i_{jk}$ ― символы Кристоффеля.

Свойства

• Теорема Боне. Если $g=g_{ij}$ и $b=b_{ij}$, $i,j\in \{1,2\}$ две гладкие квадратичные формы в области $U$ удовлетворяющие уравнениям Петерсона ― Кодацци, тогда существует и притом единственная (с точностью до движений) поверхность в $\mathbb{R}^3$, для которой эти формы являются первой и второй квадратичными формами.

История

Уравнения впервые найдены Петерсоном^[1] в 1853, переоткрыты Г. Майнарди^[2] и Д. Кодацци(1867)^[3].

Литература

• Рашевский П. К., Курс дифференциальной геометрии, М., 1956.

1. ↑ Peterson, K. M. "Über die Biegung der Flächen." Dorpat. Kandidatenschrift. 1853.
2. ↑ Mainardi, G. "Sulle coordinate curvilinee d'una superfice dello spazio." Giornale del R. Istituto Lombardo 9, 385-398, 1856.
3. ↑ Codazzi, D. "Sulle coordinate curvilinee d'una superficie dello spazio." Ann. math. pura applicata 2, 101-19, 1868-1869.