Поверхность Понтрягина

Пове́рхности Понтря́гина — определённая последовательность двумерных (в смысле размерности Лебега) «размерно неполноценных» континуумов $\Pi_m$. То есть таких, что их гомологическая размерность по данному модулю $m=2, 3, ..$ равна $1$.

Построение

…

Свойства

• Поверхности Понтрягина вкладываются в четырёхмерное евклидово пространство
• $\operatorname{dim}\,\Pi_m\times\Pi_k=3 <\operatorname{dim}\,\Pi_m+\operatorname{dim}\,\Pi_k=4$ при $m\not=k$

История

Понтрягин построил такие поверхности $\Pi_2$, $\Pi_3$, что их топологическое произведение $\Pi=\Pi_2\times \Pi_3$ есть континуум размерности $3$. Этим была опровергнута гипотеза, что при топологическом перемножении двух (метрических) компактов их размерности складываются. Им же эта гипотеза доказана для гомологической размерности по простому модулю и вообще по всякой группе коэффициентов, являющейся полем. Позже Болтянским был построен двумерный континуум $B$ (поверхность Болтянского), топологический квадрат которого $B^2 = B\times B$ трёхмерен.

Литература

• Александров П. С, Введение в гомологическую теорию размерности и общую комбинаторную топологию, М., 1975.
• Болтянский В., «Успехи матем. наук», 1951, т. 6, в. 3, с. 99—128;
• Понтрягин Л. С, «С.г. Acad. sci.», 1930, t. 190, p. 1105—07;