Шары Данделена

Шары Данделена. Секущая плоскость касается шаров и не параллельна образующей конуса (коническое сечение — эллипс с фокусами в местах касания)

Положение и форма шаров Данделена при некоторых углах наклона секущей плоскости к оси конуса.

Шары Данделена — сферы, участвующие в геометрическом построении, которое связывает планиметрическое определение эллипса, гиперболы и параболы через фокусы с их стереометрическим определением как сечения конуса. Предложены Данделеном в 1822 году.

Описание

Рассмотрим круговой конус, рассечённый плоскостью, не проходящей через центр конуса. Рассмотрим две сферы, касающиеся поверхности конуса по окружностям C и C' и касающиеся секущей плоскости в точках F и F'. Такие сферы называют шарами Данделена. В случае, когда сечение конуса — эллипс или гипербола, существует две таких сферы, а в случае параболы — только одна.

Если сфер две, то в случае эллипса обе расположены в том же конусе, одна — над секущей плоскостью, вторая — под ней; в случае гиперболы одна сфера расположена в данном конусе, вторая — в конусе, симметричном данному относительно вершины, обе — над секущей плоскостью (или по ту же сторону от секущей плоскости, что и ось конуса, если секущая плоскость параллельна оси конуса, но не содержит её). Для параболы единственная сфера расположена в том же конусе над секущей плоскостью.

Из соображений симметрии ясно, что центры шаров лежат на оси конуса. Построим шары Данделена в случае эллипса, в случаях параболы и гиперболы построение во многом сходно. Опустим перпендикуляр из вершины конуса на секущую плоскость и проведем прямую через его основание и точку пересечения оси конуса и секущей плоскости. Через верхнюю точку пересечения этой прямой и поверхности конуса проведем биссектрису угла между этой прямой и образующей конуса, проходящей через эту точку. Через эту же точку проведём вторую биссектрису — угла, смежного указанному. Эти две биссектрисы пересекут ось конуса в центрах двух шаров Данделена. Осталось провести две сферы с центрами в этих двух точках и радиусом, равным расстоянию от центра до образующей.

Применение к построению сечений

Если взять произвольную точку P на линии пересечения конуса и плоскости $\pi$ и провести через нее образующую конуса, которая пересекается с окружностями C и C' в точках Q и Q', то при перемещении точки P, точки Q и Q' будут перемещаться по окружностям C и C' с сохранением расстояния |QQ '|.

Так как $PQ$ и $PF$ — отрезки двух касательных к сфере из одной точки $P$, то $|PQ|=|PF|$ и, аналогично, $|PQ'|=|PF'|$.

Таким образом точки на линии пересечения

• имеют постоянную сумму $|PF| |PF '|=|PQ| |PQ '|=|QQ '|$ и значит, что множество возможных точек P — это есть эллипс, а точки F и F ' — его фокусы.
• или имеют постоянную разницу $|PF|-|PF '|=|PQ|-|PQ '|=|QQ '|$ и значит, что множество возможных точек P — это есть гипербола, а точки F и F ' — его фокусы.

Плоскость $\pi$ пересекает плоскости, в которых лежат окружности C и C' по прямым, являющимся директрисами конического сечения^[1]:46,47.

Примечания

1. ↑ Погорелов А. В. Геометрия. — М.: Наука, 1983. — 288 с.

Литература

• Dandelin G. Mémoire sur l’hyperboloïde de révolution, et sur les hexagones de Pascal et de M. Brianchon // Nouveaux mémoires de l’Académie Royale des Sciences et Belles-Lettres de Bruxelles, T. III., 1826 (pp. 3-16).
• Шаль М. О способе построения фокусов и доказательства их свойств на косом конусе // Исторический обзор происхождения и развития геометрических методов. — М., 1883.
• Гильберт Д., Кон-Фоссен С. Глава 1 // Наглядная геометрия. — 3-е русск. изд. — М.: Наука, 1981.
• Акопян А. В., Заславский А. А. Геометрические свойства кривых второго порядка. — М.: МЦНМО, 2007. — 136 с.

• Делоне Б. Н., Райков Д. А. том 2 // Аналитическая геометрия. — М., Л.: Гостехиздат, 1949. — 516 с.
• Веселов А.П., Троицкий Е.В. Лекции по аналитической геометрии. — СПб.: Лань, 2003. — 160 с.

Ссылки

• На Викискладе есть медиафайлы по теме Шары Данделена