Парадокс Белла

Парадо́кс Бе́лла — один из известных релятивистских парадоксов специальной теории относительности, связанный с невозможностью определения понятия «абсолютно твёрдого тела» в пространстве-времени теории относительности. В наиболее известном варианте самого Белла^[1] парадокс возникает при рассмотрении мысленного эксперимента, включающего в себя два ускоряющихся в одном и том же направлении космических корабля и соединяющую их натянутую до предела струну (один корабль летит строго впереди другого, т. е. ускорение направлено вдоль струны). Если корабли начнут синхронно ускоряться, то в сопутствующей кораблям системе отсчёта расстояние между ними начнёт увеличиваться и струна разорвётся. С другой стороны, в системе отсчёта, в которой корабли сначала покоились, расстояние между ними не увеличивается, и поэтому струна разорваться не должна. Какая точка зрения правильная? Согласно теории относительности, первая — разрыв струны.

Хронологически первое упоминание парадокса содержится в работе Э. Девана и М. Берана 1959 года ^[2], которые рассматривали результат подобного мысленного эксперимента как подтверждение реальности релятивистского сокращения тел.

Мысленный эксперимент Белла

В версии Белла два космических корабля, вначале покоящиеся относительно некоторой инерциальной системы отсчёта (ИСО), соединяются натянутой до предела струной. В нулевой момент времени по часам соответствующей ИСО оба корабля начинают ускоряться с постоянным собственным ускорением $g$, измеряемым размещёнными на борту каждого корабля акселерометрами. Вопрос состоит в том, разорвётся ли струна, то есть увеличится ли расстояние между кораблями?

В соответствии с мнением Девана и Берана, а также Белла, в системе отсчёта, в которой изначально корабли покоились, расстояние между ними будет оставаться неизменным, но длина струны будет испытывать релятивистское сокращение, так что в некоторый момент времени струна разорвётся.

Против такого решения проблемы были выдвинуты возражения, которые затем, в свою очередь, были подвергнуты критике. Например, Пол Нороки (англ. Paul Nawrocki) предполагал, что струна не должна разорваться^[3], в то время как Эдмонд Деван (англ. Edmond Dewan) защищал свою исходную точку зрения в ответной работе^[4] Белл писал, что он встретил сдержанный скептицизм «одного известного экспериментатора» в ответ на своё изложение парадокса. Для того, чтобы разрешить спор, было проведено неформальное совещание теоретического отдела ЦЕРНа. Белл утверждает, что «ясным общим мнением» отдела стало признание того, что струна не должна разорваться. Далее Белл добавляет: «Конечно, многие люди, получившие сначала неправильный ответ, дошли до верного путём дальнейших рассуждений»^[1]. Позже, в 2004 году, Мацуда и Киносита^[5] писали, что опубликованная ими в японском журнале работа, содержащая независимо переоткрытый вариант парадокса, была сильно раскритикована. Авторы, однако, не дают ссылок на критические работы, утверждая только, что они были написаны на японском языке.

Анализ

В дальнейшем анализе будем рассматривать космические корабли как точечные тела и рассматривать только длину струны. Анализ относится к случаю, когда корабли заглушают двигатели после некоторого промежутка времени $T$. Будут использоваться галилеевы координаты во всех инерциальных системах отсчёта.

Разрыв струны между кораблями, которые начинают двигаться с ускорением.

В соответствии с изложением Девана и Берана, а также Белла, в системе отсчёта «стартовых площадок» (относительно которой корабли покоились до начала работы двигателей и которую мы будем называть СО $S$) расстояние между кораблями $A$ и $B$ — $L$, должно оставаться постоянным «по определению».

Это можно проиллюстрировать следующим образом. Смещение кораблей относительно своих исходных позиций — вдоль оси $X$ СО $S$ — как функция времени может быть записана в виде $f(t)$. Эта функция, вообще говоря, зависит от функции тяги двигателей, но важно, что она одинакова для обоих космических кораблей. Поэтому положение каждого корабля как функция времени будет:

$x_A = a_0 + f(t), \quad x_B = b_0 + f(t),$

где

$f(t)$ при $t<0$ равна 0 и непрерывна при всех значениях $t$;

$x_A$ — положение ($x$-координата) корабля $A$;

$x_B$ — положение ($x$-координата) корабля $B$;

$a_0$ — положение корабля $A$ при $t=0$;

$b_0$ — положение корабля $B$ при $t=0$.

Из этого $x_A - x_B = a_0 - b_0\,$ что является постоянной величиной, не зависящей от времени. Такой аргумент справедлив для всех типов синхронного движения.

Таким образом, знание детального вида $f(t)$ не является необходимым для дальнейшего анализа. Отметим, однако, что форма $f(t)$ для постоянного собственного ускорения хорошо известна (см. гиперболическое движение).

Мировые линии двух наблюдателей A и B, которые начинают двигаться в одном направлении с постоянным ускорением. В точках A' и B' наблюдатели прекращают ускорение. Пунктирная линия является «линией одновременности» для наблюдателя A. Является ли пространственный отрезок A′B″ более длинным, чем отрезок AB?

Рассматривая пространственно-временную диаграмму (справа), можно заметить, что космические корабли прекратят ускоряться в событиях $A'$ и $B'$, которые одновременны в СО $S$. Очевидно также, что эти события не одновременны в СО, сопутствующей кораблям. Это является примером относительности одновременности.

Из предыдущего ясно, что длина линии $A'B'$ равна длине $AB$, которая, в свою очередь, совпадает с начальным расстоянием $L$ между кораблями. Также очевидно, что скорости кораблей $A$ и $B$ в СО $S$ после окончания фазы ускоренного движения равны $v$. Наконец, собственное расстояние между космическими кораблями $A$ и $B$ после окончания фазы ускоренного движения будет равно расстоянию в сопутствующей ИСО и равно длине линии $A'B''$. Эта линия является линией постоянного $t'$ — временной координаты сопутствующей системы отсчёта, которая связана с координатами в СО $S$ преобразованиями Лоренца:

$t' = \frac{\left( t - v x / c^2 \right)} {\sqrt{1-v^2/c^2}}.$

$A'B''$ представляет собой линию, взятую одновременно относительно СО космических кораблей, то есть — для них — чисто пространственную. Так как интервал является инвариантом относительно преобразований СО, можно вычислить его в любой удобной системе отсчёта, в данном случае в $S$.

Математически через координаты в СО $S$ вышеизложенные соображения записываются так:

$t_{B'} = t_{A'}\, ,$

$x_B - x_A = x_{B'}-x_{A'} = L\, ,$

$x_{B''} - x_{B'} = v \left( t_{B''} - t_{B'} \right) ,$

$t_{B''} - \frac{v}{c^2} x_{B''} = t_{A'} - \frac{v}{c^2} x_{A'}\, ,$

$\overline{A'B''} = \sqrt{ \left( x_{B''}-x_{A'} \right)^2 - c^2 \left( t_{B''} - t_{A'} \right)^2 }\, .$

Введя вспомогательные переменные

$H = t_{B''} - t_{B'} = t_{B''} - t_{A'}\, ,$

$W = x_{B''} - x_{B'}\, ,$

и замечая, что

$W+L = x_{B''} - x_{B'} + x_{B'} - x_{A'} = x_{B''} - x_{A'}\, ,$

можно переписать уравнение как

$W = v H \qquad H = \frac{v}{c^2} \left(W + L \right) \qquad \overline{A'B''} = \sqrt{\left(W+L\right)^2 - c^2 H^2}$

и решить его:

$\overline{A'B''} = \frac{L}{\sqrt{1-\displaystyle\frac{v^2}{c^2}}}.$

Следовательно, при описании в сопутствующей системе отсчета расстояние между кораблями увеличивается в $\gamma = 1/\sqrt{1-v^2/c^2}$ раз. Поскольку струна не сможет так растянуться, она порвётся.

Белл отметил, что релятивистское сокращение тел, так же как и отсутствие сокращения расстояний между космическими кораблями в рассматриваемом мысленном эксперименте, можно объяснить динамически, используя уравнения Максвелла. Искажение межмолекулярных электромагнитных полей вызывает сокращение движущихся тел — или напряжения в них, если предотвращать их сокращение. Но между кораблями эти силы не действуют.

Контекст и родственные проблемы

Парадокс Белла очень редко упоминается в печатных учебниках по теории относительности, но иногда описывается в интернет-курсах.

Более часто в учебниках и монографиях упоминается эквивалентная задача М. Борна о жёстком движении. Вместо вопроса о расстоянии между кораблями с одинаковым ускорением, данная проблема касается вопроса о необходимом для второго корабля ускорении для сохранения постоянного расстояния между кораблями в их сопутствующей системе отсчёта. Ускорения должны быть, вообще говоря, различными^[6][7]. Чтобы два космических корабля, вначале покоившихся в некоторой ИСО, сохраняли постоянным собственное расстояние друг от друга, передний корабль должен иметь более низкое собственное ускорение^{[7] [8]} (см. также координаты Риндлера).

Близкородственной задачей является также проблема синхронизации часов на одинаково ускоренных кораблях, разобранная в 1907 году Эйнштейном^[9]. Она привела его к мысли о гравитационном красном смещении и гравитационном замедлении времени.

См. также

• Гиперболическое движение
• Координаты Риндлера
• Парадокс Эренфеста
• Парадокс субмарины
• Парадокс лестницы
• Жёсткость Борна

Примечания

1. ↑ ^{1 2} Bell, J. S. Speakable and unspeakable in quantum mechanics. — Cambridge: Cambridge University Press, 1987. — ISBN ISBN 0-521-52338-9 Известная книга, содержащая перепечатку исходной статьи Белла 1976 года.
2. ↑ Dewan, E.; Beran, M. (March 20 1959). «Note on stress effects due to relativistic contraction». American Journal of Physics (American Association of Physics Teachers) 27 (7): 517-518. DOI:10.1119/1.1996214. Проверено 2006-10-06.
3. ↑ Nawrocki, Paul J. (October 1962). «Stress Effects due to Relativistic Contraction». American Journal of Physics 30 (10): 771-772. DOI:10.1119/1.1941785. Проверено 2006-10-06.
4. ↑ Dewan, Edmond M. (May 1963). «Stress Effects due to Lorentz Contraction». American Journal of Physics 31 (5): 383-386. DOI:10.1119/1.1969514. Проверено 2006-10-06.. (Отметим также, что эта статья содержит первое упоминание о парадоксе лестницы.)
5. ↑ Matsuda, Takuya; & Kinoshita, Atsuya (2004). «A Paradox of Two Space Ships in Special Relativity». AAPPS Bulletin February: ?. eprint version
6. ↑ Misner, Charles; Thorne, Kip S. & Wheeler, John Archibald Gravitation. — San Francisco: W. H. Freeman, 1973. — P. 165. — ISBN ISBN 0-7167-0344-0
7. ↑ ^{1 2} Nikolić, Hrvoje (6 April 1999). «Relativistic contraction of an accelerated rod». American Journal of Physics (American Association of Physics Teachers) 67 (11): 1007-1012. DOI:10.1119/1.19161. Проверено 2006-10-07.eprint version
8. ↑ Равноускоренная система отсчета
9. ↑ Эйнштейн, А. О принципе относительности и его следствиях.
   Русский перевод см. в
   А. Эйнштейн. Собрание научных трудов, т. 1. — М., изд-во «Наука», 1965.

Ссылки

• Герштейн С. С., Логунов А. А. «Задача Дж. С.Белла» (препринт ИФВЭ 1996)
• Герштейн С. С., Логунов А. А. Задача Дж. Белла // Физика элементарных частиц и атомного ядра. — 1998. — В. 5. — Т. 29. — С. 463-468.
• Michael Weiss, Bell’s Spaceship Paradox (1995), USENET Relativity FAQ  (англ.)
• Austin Gleeson, Course Notes Chapter 13 See Section 4.3  (англ.)
• JH Field, [1]  (англ.)
• Romain, J. E. (1963). «A Geometric approach to Relativistic paradoxes». Am. J. Phys. 31: 576-579.  (англ.)
• Hsu, Jong-Ping; & Suzuki (2005). «Extended Lorentz Transformations for Accelerated Frames and the Solution of the «Two-Spaceship Paradox»». AAPPS Bulletin October: ?. eprint версия.  (англ.)
• Redžić D.V.(2010) «Relativistic length agony continued»  (англ.)
• Peregoudov, D V (2009), "«Letters And Comments: Comment on 'Note on Dewan-Beran-Bell's spaceship problem'»", European journal of physics : a journal of the European Physical Society (L3: Institute of Physics) . — Т. 30.1, ISSN 01430807, OCLC 311827234, DOI 10.1088/0143-0807/30/1/L02   (англ.)
• Foukzon J., Podosyonov S.A., Potapov A.A.,(2009), «Relativistic length expansion in general accelerated system revisited».  (англ.)
• Podosyonov S.A., Foukzon J. and Potapov A.A.,(2010) «A Study of the Motion of a Relativistic Continuous Medium»,
• Gravitation and Cosmology, 2010,Vol.16,No.4,pp.307-312.ISSN 0202-2893,  (англ.) http://www.springerlink.com/content/j8kr55831h411365/