- Дерево Фенвика
-
Дерево Фенвика (двоичное индексированное дерево, англ. Fenwick tree, binary indexed tree, BIT) — структура данных, позволяющая быстро изменять значения в массиве и находить некоторые функции от элементов массива. Впервые описано Питером Фенвиком в 1994 году. [1] Дерево Фенвика напоминает дерево отрезков, однако проще в реализации.
Содержание
Дерево Фенвика для суммы
Будем обозначать для натурального числа максимальный делитель , являющийся степенью двойки (единицу мы также считаем степенью двойки). Нетрудно убедиться, что F(n)=n−(n & (n−1)), где & — побитовое «И» двух целых чисел. Пусть наш массив имеет элементов: . Выберем , при котором . Тогда для хранения дерева Фенвика понадобится массив из элементов. Будем нумеровать их от 1 до . В ячейке будет храниться сумма в ячейках массива с по .
Дерево Фенвика для суммы поддерживает 2 операции:
1) modify с аргументами и — увеличить значение -й ячейки массива на число ( может быть как положительно, так и отрицательно).
2) count с аргументом — найти сумму чисел в ячейках массива с 1-й по -ю.
Обе операции могут быть легко реализованы одним циклом.
modify (N,X)
1) i=N 2) Пока i≤ 2.1) Увеличиваем b[i] на X 2.2) Увеличиваем i на F(i)
count (N)1) res=0
2) i=N
3) Пока
3.1) Увеличиваем res на b[i]
3.2) Уменьшаем i на F(i)
4) Ответ = res
Сложность обеих операций составляет O(k) = O(log n). Стоит отметить, что с помощью операции count(N) мы, вообще говоря, можем найти сумму на любом отрезке за ту же сложность, поскольку при ≠1 она в точности равняется .
Дерево Фенвика для максимума
Дерево Фенвика для максимума поддерживает следующие операции:
1) modify с аргументами и — если значение в -й ячейке массива меньше , то записать в неё число . В противном случае оставить значение старым.
2) count с аргументами и — найти максимум чисел в ячейках массива с -й по -ю.
Для хранения дерева, кроме массива , будем использовать массивы и . В -й ячейке массива будем хранить максимум на отрезке ; в -й ячейке массива — максимум на отрезке при и на отрезке при .
Ниже приведена реализация операций.
modify (N,X)
1)a[N]=max(a[N],X)
2)i=N
3)Пока
3.1)left[i]=max(left[i],X)
3.2)Увеличиваем i на F(i)
4)j=N
5)Пока
5.1)right[j]=max(right[j],X)
5.2)Уменьшаем j на F(j)
count (L,R)
1)res=0
2)i=L
3)Пока
3.1)res=max(res,right[i])
3.2)Увеличиваем i на F(i)
4)res=max(res,a[i])
5)j=R
6)Пока
6.1)res=max(res,left[j])
6.2)Уменьшаем j на F(j)
7)Ответ = res
Сложность операций = .
Заметим, что с помощью дерева Фенвика для максимума нельзя уменьшить значение, записанное в ячейке. Если требуется, чтобы структура данных имела такую возможность, следует использовать дерево отрезков для максимума.
Операции могут быть легко модифицированы, чтобы дерево Фенвика находило не только значение максимума, но и ячейку, в которой этот максимум достигается.
Примечания
- ↑ Peter M. Fenwick (1994). «A new data structure for cumulative frequency tables». Software: Practice and Experience 24 (3): 327-336. DOI:10.1002/spe.4380240306.
Ссылки
- А. Лахно Дерево Фенвика. Курс «Структуры данных», МЦНМО.
- Реализация дерева Фенвика на C++ на e-maxx.ru
- Реализация дерева Фенвика на Java
- Статья про дерево Фенвика на Хабрахабре
Для улучшения этой статьи желательно?: - Исправить статью согласно стилистическим правилам Википедии.
- Переработать оформление в соответствии с правилами написания статей.
- Викифицировать статью.
Дерево (структура данных) Двоичное дерево поиска · Дерево (теория графов) · Древовидная структура Двоичные деревья Двоичное дерево · T-дерево Самобалансирующиеся двоичные деревья АА-дерево · АВЛ-дерево · Красно-чёрное дерево · Расширяющееся дерево · Дерево со штрафами · Декартово дерево · Дерево Фибоначчи B-деревья B-дерево · 2-3-дерево · B+ дерево · B*-дерево · UB-дерево · 2-3-4 дерево · (a,b)-дерево · Танцующее дерево Префиксные деревья Суффиксное дерево · Radix tree · Ternary search tree Двоичное разбиение пространства k-мерное дерево · VP-дерево Недвоичные деревья Дерево квадрантов · Октодерево · Sparse Voxel Octree · Экспоненциальное дерево · PQ-дерево Разбиение пространства R-дерево · R+-дерево · R*-дерево · X-дерево · M-дерево · Дерево Фенвика · Дерево отрезков Другие деревья Куча · TTH · Finger tree · Metric tree · Cover tree · BK-tree · Doubly-chained tree · iDistance · Link-cut tree Алгоритмы Поиск в ширину · Поиск в глубину · DSW-алгоритм · Алгоритм связующего дерева Категории:- Алгоритмы
- Деревья (структуры данных)
Wikimedia Foundation. 2010.