Субфакториал

Субфакториал числа n (обозначение: !n) определяется как количество беспорядков порядка n, то есть перестановок порядка n без неподвижных точек. Название субфакториал происходит из аналогии с факториалом, определяющим общее количество перестановок.

В частности, !n есть число способов положить n писем в n конвертов (по одному в каждый), чтобы ни одно не попало в соответствующий конверт (т. н. Задача о письмах).

Явная формула

Субфакториал можно вычислить с помощью принципа включения-исключения:

$!n = n!\left(1-\frac{1}{1!}+\frac{1}{2!}-\frac{1}{3!}+ ... +(-1)^n\frac{1}{n!}\right) = n!\sum_{k=0}^n\frac{(-1)^k}{k!}$

Другие формулы

• $!n = \frac{\Gamma (n+1, -1)}{e}\!$, где $\Gamma$ обозначает неполную гамма-функцию (англ.), а e — математическая константа;
• $!n = \left \lfloor \frac {n!}{e} \right \rceil$, где $\left\lfloor x\right\rceil$ обозначает ближайшее к x целое число.
• $!n = \left\lfloor \frac{n!+1}{e} \right\rfloor$ (согласно Mehdi Hassani), где $\!\lfloor x \rfloor$ обозначает целую часть числа.
• Справедливы формальные тождества: $Q^n = (P-1)^n$ и $P^n = (Q+1)^n$, где $P^k$ нужно понимать как $k!$, а $Q^k$ — как $!k$.

Таблица значений

 !1 = 0

 !2 = 1

 !3 = 2

 !4 = 9

 !5 = 44

 !6 = 265

 !7 = 1 854

 !8 = 14 833

 !9 = 133 496

 !10 = 1 334 961

 !11 = 14 684 570

 !12 = 176 214 841

 !13 = 2 290 792 932

 !14 = 32 071 101 049

 !15 = 481 066 515 734

 !16 = 7 697 064 251 745

 !17 = 130 850 092 279 664

 !18 = 2 355 301 661 033 953

 !19 = 44 750 731 559 645 106

 !20 = 895 014 631 192 902 121

 !21 = 18 795 307 255 050 944 540

последовательность A000166 в OEIS

Свойства

• $!n = !(n-1)\cdot n + (-1)^n$
• $!n = (n-1)\cdot (!(n-1)+!(n-2))$ (таким же свойством обладает сам факториал)
• $!n = (n-1)\cdot a_{n-2},$

где $\;a_0 = a_1 = 1$ и $a_n = n\cdot a_{n-1} + (n-1)\cdot a_{n-2} = \ !(n+1)+!n$. Начальные члены последовательности $a_n$:

1, 1, 3, 11, 53, 309, 2119, … (последовательность A000255 в OEIS)

• Число 148349 равно сумме субфакториалов своих цифр (аналог факториона):

$148349 = !1 + !4 + !8 + !3 + !4 + !9$ (найдено J. S. Madachy, 1979)

• Субфакториал иногда допускается в математических играх типа получения различных результатов из определённых цифр (например, известна игра Четыре четвёрки, где равенство !4 = 9 может принести пользу).