Тригонометрическая формула Виета

Тригонометрическая формула Виета — один из способов решения кубического уравнения $x^3 + ax^2 + bx + c = 0$

Первым решение этого уравнения нашел Никколо Тарталья, Джероламо Кардано опубликовал его решение в 1545 году под своим именем (см. формула Кардано). Однако формула Виета более удобна для практического применения:

Формула

• Вычисляем $Q=\frac{a^2-3b}{9}, R=\frac{2a^3-9ab+27c}{54}$
• Вычисляем $S = Q^3 - R^2$
• Если $S > 0$, то вычисляем $\phi = \frac{1}{3}\arccos\left(\frac{R}{\sqrt{Q^3}}\right)$ и имеем три действительных корня:

  $x_1=-2\sqrt{Q}\cos(\phi)-\frac{a}{3}$

  $x_2=-2\sqrt{Q}\cos\left(\phi+\frac{2}{3}\pi\right)-\frac{a}{3}$

  $x_3=-2\sqrt{Q}\cos\left(\phi-\frac{2}{3}\pi\right)-\frac{a}{3}$

• Если $S < 0$, то заменяем тригонометрические функции гиперболическими. Здесь возможны два случая в зависимости от знака $Q$
  • $Q > 0$:

    $\phi = \frac{1}{3}\,\operatorname{Arch}\left(\frac{|R|}{\sqrt{Q^3}}\right)$

    $x_1=-2\sgn(R)\sqrt{Q}\,\operatorname{ch}(\phi)-\frac{a}{3}$ (действительный корень)

    $x_{2,3}=\sgn(R)\sqrt{Q}\,\operatorname{ch}(\phi)-\frac{a}{3} \pm i \sqrt{3}\sqrt{Q}\,\operatorname{sh}(\phi)$ (пара комплексных корней)

  • $Q < 0$:

    $\phi = \frac{1}{3}\,\operatorname{Arsh}\left(\frac{|R|}{\sqrt{|Q|^3}}\right)$

    $x_1=-2\sgn(R)\sqrt{|Q|}\, \operatorname{sh}(\phi)-\frac{a}{3}$ (действительный корень)

    $x_{2,3}=\sgn(R)\sqrt{|Q|}\, \operatorname{sh}(\phi)-\frac{a}{3} \pm i \sqrt{3} \sqrt{|Q|}\,\operatorname{ch}(\phi)$ (пара комплексных корней)

• Если $S = 0$, то уравнение вырождено и имеет меньше 3 различных решений (второй корень кратности 2):

  $x_1=-2\sgn(R)\sqrt{Q}-\frac{a}{3}=-2\sqrt[3]{R}-\frac{a}{3}$

  $x_2=\sgn(R)\sqrt{Q}-\frac{a}{3}=\sqrt[3]{R}-\frac{a}{3}$

Вывод формулы

• Исходный многочлен имеет вид $P(x_1) = x_1^3 + a \cdot x_1^2 + b \cdot x_1 + c$.

• Подстановкой $x_1 = x - \frac a 3$ приводим многочлен к виду $Q(x) = x^3 + p \cdot x + q$, где $p = b - \frac {a^2} 3$ и $q = \frac {2 a^3} {27} - \frac {a b} 3 + c$.

• Ищем решение уравнения $Q(x) = x^3 + p \cdot x + q = 0$ в виде $x = A \cdot \cos \varphi$, получаем уравнение $A^3 \cdot \cos ^3 \varphi + A p \cdot \cos \varphi = - q$.

• Заметим что в случае $p < 0$ при $A = \sqrt {- \frac {4p} {3} }$ это уравнение приобретает вид $\frac {A^3} 4 \cdot \Big ( 4 \cos ^3 \varphi - 3 \cos \varphi \Big ) = - q$.

• Используя тригонометрическое тождество $\cos 3 \varphi = 4 \cos ^3 \varphi - 3 \cos \varphi$ приходим к уравнению вида $\cos 3 \varphi = - \frac {4q} {A^3}$.

• Решение этого уравнения имеет вид $\varphi_k = \frac 13 \arccos \Big ( - \frac {4q} {A^3} \Big) + \frac {2\pi k} {3}$, где $k$ пробегает значения 1, 2, 3.

• Подставляя полученные значения $\varphi_k$ в выражение для переменной $x$, получаем ответ $x_k = A \cdot \cos \varphi_k$

Программа на языке C, находящая корни кубического многочлена в случае трёх действительных корней

  #include <math.h>
 
 int main(void)
 {
  // x*x*x + a * x * x + b * x  + c == 0.0
  double p = b - a * a * а/ 3.0;
  double q = 2.0 * a * a * a / 27.0 - a * b / 3.0 + c;
  double A = sqrt(- 4.0 * p / 3.0); 
 
  double c3phi = - 4.0 * q / (A * A * A);
 
  double phi = acos(c3phi) / 3.0;  
 
  double root1 = A * cos(phi) - a / 3.0;
  double root2 = A * cos(phi + 2 * M_PI / 3.0) - a / 3.0;
  double root3 = A * cos(phi - 2 * M_PI / 3.0) - a / 3.0;
 
  return 0;
 }

Для улучшения этой статьи по математике желательно?: Найти и оформить в виде сносок ссылки на авторитетные источники, подтверждающие написанное. Проставить интервики в рамках проекта Интервики.