- Циссоида Диокла
-
Циссоида Диокла — плоская алгебраическая кривая третьего порядка. В декартовой системе координат, где ось абсцисс направлена по , а ось ординат по , на отрезке , как на диаметре строится вспомогательная окружность. В точке проводится касательная . Из точки проводится произвольная прямая , которая пересекает окружность в точке и касательную в точке . От точки , в направлении точки , откладывается отрезок , длина которого равна длине отрезка . При вращении линии вокруг точки , точка описывает линию, которая называется Циссоида Диокла. Две ветви этой линии на рис. 1 показаны синим и красным цветами.
Содержание
Уравнения
В этом разделе не хватает ссылок на источники информации. Информация должна быть проверяема, иначе она может быть поставлена под сомнение и удалена.
Вы можете отредактировать эту статью, добавив ссылки на авторитетные источники.
Эта отметка установлена 12 мая 2011.Уравнение циссоиды в прямоугольной системе координат записывается так:
Уравнение циссоиды в полярной системе координат:
Иногда уравнение циссоиды в полярной системе координат записывают так:
Параметрическое уравнение циссоиды:
где
- .
История
Впервые циссоиду исследовал греческий математик Диокл во II веке до н. э. Диокл строил кривую так: находится точка , которая расположена на вспомогательной окружности симметрично точке ; ось симметрии — диаметр . Из точки проводится перпендикуляр к оси абсцисс. Точка , принадлежащая циссоиде, находится на пересечении этого перпендикуляра и прямой . Этим методом Диокл построил только кривую внутри вспомогательной окружности. Если эту часть циссоиды () замкнуть дугой окружности , то получается фигура, напоминающая своей формой лист плюща. По-гречески плющ — χισσος («хиссос»), от чего и произошло название кривой — «Циссоида».
В современном виде циссоиду воспроизвел французский математик Жиль Роберваль в 1640 году. Позднее циссоиду также исследовал голландский математик Слюз.
Особенности кривой
Циссоида симметрична относительно оси абсцисс. Циссоида пересекает вспомогательную окружность в точках и , которые принадлежат диаметру этой окружности. Циссоида имеет один касп и асимптоту , уравнение которой: , где — радиус вспомогательной окружности.
Площадь между циссоидой и асимптотой
Эта площадь равна:
ВыводПлощадь, заключённая между ветвями циссоиды и асимптотой . Уравнение верхней ветви :
Половина площади заключённой между циссоидой и асимптотой равна интегралу от уравнения (2) в пределах от 0 до :
Подстановка:
Пределы интегрирования:
Интеграл (3) преобразуется к виду:
Итак:
Объём тела вращения
Объём () тела, образованного при вращении ветви вокруг оси абсцисс, рассчитывается так:
Если , то , то есть .
В этой статье не хватает ссылок на источники информации. Информация должна быть проверяема, иначе она может быть поставлена под сомнение и удалена.
Вы можете отредактировать эту статью, добавив ссылки на авторитетные источники.
Эта отметка установлена 12 мая 2011.Категория:- Кривые
-
Wikimedia Foundation. 2010.