Циссоида Диокла

Рис. 1. Построение циссоиды. Синяя и красная линии — ветви циссоиды.

Циссоида Диокла — плоская алгебраическая кривая третьего порядка. В декартовой системе координат, где ось абсцисс направлена по $OX$, а ось ординат по $OY$, на отрезке $OA=2a$, как на диаметре строится вспомогательная окружность. В точке $A$ проводится касательная $UV$. Из точки $O$ проводится произвольная прямая $OF$, которая пересекает окружность в точке $E$ и касательную в точке $F$. От точки $F$, в направлении точки $O$, откладывается отрезок $FM$, длина которого равна длине отрезка $OE$. При вращении линии $OF$ вокруг точки $O$, точка $M$ описывает линию, которая называется Циссоида Диокла. Две ветви этой линии на рис. 1 показаны синим и красным цветами.

Уравнения

В этом разделе не хватает ссылок на источники информации. Информация должна быть проверяема, иначе она может быть поставлена под сомнение и удалена. Вы можете отредактировать эту статью, добавив ссылки на авторитетные источники. Эта отметка установлена 12 мая 2011.

Уравнение циссоиды в прямоугольной системе координат записывается так:

$y^2=\frac{x^3}{2a-x}.\qquad\qquad(1)$

Уравнение циссоиды в полярной системе координат:

$\rho=\frac{2a\sin^2\varphi}{\cos\varphi}.$

Иногда уравнение циссоиды в полярной системе координат записывают так:

$\rho=\frac{2a\left(1-\cos^2\varphi\right)}{\cos\varphi}=$

$=2a\left(\frac{1}{\cos\varphi}-\cos\varphi\right)=$

$=2a\left(\sec\varphi-\cos\varphi\right).$

Параметрическое уравнение циссоиды:

$x=\frac{2a}{1+u^2},$

$y=\frac{2a}{u(1+u^2)},$

где

$u=\mathrm{tg}\,\varphi$.

История

Впервые циссоиду исследовал греческий математик Диокл во II веке до н. э. Диокл строил кривую так: находится точка $P$, которая расположена на вспомогательной окружности симметрично точке $E$; ось симметрии — диаметр $BD$. Из точки $P$ проводится перпендикуляр к оси абсцисс. Точка $M$, принадлежащая циссоиде, находится на пересечении этого перпендикуляра и прямой $OE$. Этим методом Диокл построил только кривую $DOB$ внутри вспомогательной окружности. Если эту часть циссоиды ($DOB$) замкнуть дугой окружности $EAD$, то получается фигура, напоминающая своей формой лист плюща. По-гречески плющ — χισσος («хиссос»), от чего и произошло название кривой — «Циссоида».

В современном виде циссоиду воспроизвел французский математик Жиль Роберваль в 1640 году. Позднее циссоиду также исследовал голландский математик Слюз.

Особенности кривой

Циссоида симметрична относительно оси абсцисс. Циссоида пересекает вспомогательную окружность в точках $B$ и $D$, которые принадлежат диаметру этой окружности. Циссоида имеет один касп и асимптоту $UV$, уравнение которой: $x=2a$, где $a$ — радиус вспомогательной окружности.

Площадь между циссоидой и асимптотой

Эта площадь равна:

$S_1=3\pi a^2.$

Вывод  

Площадь, заключённая между ветвями циссоиды $KOL$ и асимптотой $UV$ $S_1$. Уравнение верхней ветви $OL$:

$y=\sqrt{\frac{x^3}{2a-x}}.\qquad\qquad(2)$

Половина площади заключённой между циссоидой и асимптотой равна интегралу от уравнения (2) в пределах от 0 до $2a$:

$\frac{1}{2}S_1=\int\limits_0^{2a}\sqrt{\frac{x^3}{2a-x}}\,dx.\qquad\qquad(3)$

Подстановка:

$u^2=2a-x,\qquad x=2a-u^2,\qquad dx=-2u\,du.$

Пределы интегрирования:

$x=0\Rightarrow u=\sqrt{2a},\qquad x=2a\Rightarrow u=0.$

Интеграл (3) преобразуется к виду:

$\frac{1}{2}S_1=-2\int\limits_\sqrt{2a}^0\sqrt{(2a-u^2)^3}\,du=$

$=\left.-2\left(\frac{u}{8}(10a-2u^2)\sqrt{2a-u^2}+\frac{3a^2}{2}\arcsin\frac{u}{\sqrt{2a}}\right)\right|^0_\sqrt{2a}=\frac{3\pi a^2}{2}.$

Итак:

$\frac{1}{2}S_1=\frac{3\pi a^2}{2}.$

$S_1=3\pi a^2.$

Объём тела вращения

Объём ($V_1$) тела, образованного при вращении ветви $OL$ вокруг оси абсцисс, рассчитывается так:

$V_1=\pi\int\limits_0^{2a}\frac{x^3}{2a-x}\,dx=$

$=\pi\int\limits_0^{2a}\left(-x^2-2ax-4a^2+\frac{8a^3}{2a-x}\right)\,dx=$

$=\left.-\frac{44\pi a^3}{3}-8\pi a^3(\ln(2a-x))\right|^{2a}_0.$

Если $x\to 2a$, то $\ln(2a-x)\to-\infty$, то есть $V_1\to\infty$.

В этой статье не хватает ссылок на источники информации. Информация должна быть проверяема, иначе она может быть поставлена под сомнение и удалена. Вы можете отредактировать эту статью, добавив ссылки на авторитетные источники. Эта отметка установлена 12 мая 2011.