Степень точки относительно окружности

У этого термина существуют и другие значения, см. Степень точки.

Степень точки $P$ относительно окружности. Число $d^2- R^2$, где $d$ есть расстояние от точки Р до центра окружности, a $R$ — радиус окружности.

Связанные определения

• Для двух не концентрических окружностей геометрическое место точек Р, для которых степени относительно обеих окружностей равны, является прямой, называемой радикальной осью окружностей.
• Для трёх окружностей, центры которых не лежат на одной прямой существует единственная точка, такая, что её степени относительно всех трёх окружностей равны. Эта точка называется радикальным центром трёх окружностей.

Свойства

• Если прямая, проходящая через точку $P$, пересекает окружность $\Gamma$ в точках $X$ и $Y$, то степень $P$ относительно $\Gamma$ равна $\pm|PX|\cdot|PY|$; в этой формуле стоит «$+$» если $P$ лежит снаружи $\Gamma$ и «$-$» если внутри. В частности,
  • Если из точки, лежащей вне окружности, проведены две секущие, то произведение одной секущей на её внешнюю часть равно произведению другой секущей на её внешнюю часть.
  • Если из одной точки проведены к окружности касательная и секущая, то произведение всей секущей на её внешнюю часть равно квадрату касательной.

История

Термин «степень» в этом значении был впервые употреблён Штейнером.

Вариации и обобщения

• Аналогично определяется степень точки относительно сферы в $n$-мерном евклидовом пространстве.

Литература

• Коксетер Г. С. М., Грейтцер С. П. Новые встречи с геометрией. — М.: Наука, 1978. — Т. 14. — (Библиотека математического кружка).
• Я. П. Понарин §3.1 Степень точки относительно сферы // Элементарная геометрия. — М.: МЦНМО, 2006. — Т. 2. — С. 146. — 256 с. — 2000 экз. — ISBN 5-94057-223-5

Ссылки

• На Викискладе есть медиафайлы по теме Степень точки относительно окружности