Плотность состояний

Плотность состояний — величина, определяющая количество энергетических уровней в интервале энергий на единицу объёма в трёхмерном случае (на единицу площади — в двумерном случае). Является важным параметром в статистической физике и физике твёрдого тела. Термин может применяться к фотонам, электронам, квазичастицам в твёрдом теле и т. п. Применяется только для одночастичных задач, то есть для систем где можно пренебречь взаимодействием (невзаимодействующие частицы) или добавить взаимодействие в качестве возмущения (это приведёт к модификации плотности состояний).

Определение

Чтобы вычислять плотность состояний энергии для частицы, мы сначала вычислим плотность состояний в обратном пространстве (импульсное или k-пространство). Расстояние между состояниями задано граничными условиями. Для свободных электронов и фотонов в пределах ящика размера L, и для электронов в кристаллической решётке с размером решётки L используем периодические граничные условия Борна — фон Кармана. Используя волновую функцию свободной частицы получаем

$\begin{matrix} e^{ikx} & = & e^{ik(x + L)} \\ 1 & = & e^{ikL} \\ 2\pi n & = & kL \\ \frac{2\pi}{L_x} & = & \Delta k \\ \end{matrix}$

где n — любое целое число, а $\Delta k\,$ — расстояние между состояниями с различными k.

Полное количество k-состояний, доступных для частицы - объем k-пространства доступного для неё, разделённого на объём k-пространства, занимаемого одним состоянием. Доступный объем - просто интеграл от $k = 0$ к $k = k$. Объём k-пространства для одного состояния в n-мерном случае запишется в виде

$G(k) = \frac{g_s}{\left( {\Delta k} \right)^n} \int\limits_0^k\,{d^n{\mathbf{k}}},$

$g_s$ — вырождение уровня (обычно это спиновое вырождение, равное 2). Это выражение нужно продифференцировать, чтобы найти плотность состояний в k-пространстве: $g(k)\,dk = \frac{dG(k)}{dk}\,dk$. Чтобы найти плотность состояний по энергии, нужно знать закон дисперсии для частицы, то есть выразить k и dk в выражении g(k)dk в терминах E и dE. Например для свободного электрона: $E = \frac{p^2}{2m} = \frac{(\hbar k)^2}{2m}$, $dE = \frac{\hbar^2 k}{m}\,dk.$

С более общим определением связано соотношение

$D(E) = \sum_s~\delta(E-E_s)\,$

где индекс s соответствует некоторому состоянию дискретного или непрерывного спектра, а $\delta$ — дельта-функция Дирака. При переходе от суммирования к интегрированию следует использовать правило

$\sum_s\rightarrow \int\frac{d^np~d^nq}{(2\pi\hbar)^n}\,$

где $\hbar$ — постоянная Планка.

Примеры

В следующей таблице представлены плотность состояний для электронов с параболическим законом дисперсии

	Доступный объём	Объём для одного состояния	Плотность состояний
3D	$\frac{4}{3}\pi k^3$	$\frac{(2\pi)^3}{L_x L_y L_z}$	$\frac{\sqrt{2m^3}} {\pi^2\hbar^3}\sqrt{E}$
2D	$\pi k^2$	$\frac{(2\pi)^2}{L_x L_y}$	$\frac{m} {\pi\hbar^2 L_x}\sum_l \Theta(E-E_l)$
1D	$2k$	$\frac{2\pi}{L_x}$	$\frac{\sqrt{2m}}{\pi\hbar L_x L_y}\sum_l \frac{1}{\sqrt{E-E_l}}$
0D			$\frac{2}{ L_x L_y L_z}\sum_l \delta (E-E_l)$

где l — индекс подзоны размерного квантования. Здесь рассмотрен не чистый случай, а когда квантование по одному или нескольким направлениям связано с некоторым ограничивающим потенциалом.

Внешние ссылки

• Britney Spears' Guide to Semiconductor Physics