- Класс Понтрягина
-
Класс Понтрягина — характеристический класс, определенный для вещественных векторных расслоений. Введены в 1947 году советским математиком Л. С. Понтрягиным.
Для векторного расслоения с базой классы Понтрягина обозначаются символом и полагаются равными
- ,
где — комплексификация расслоения , a — классы Черна.
Полным классом Понтрягина называется неоднородный характеристический класс
- .
Если — гладкое многообразие и расслоение явно не указывается, то предполагается что есть касательное расслоение .
Свойства
- Через классы Понрягина выражаются L-класс Хирцебруха и -класс.
- Если , — два вещественных векторных расслоения над общей базой, то класс когомологий
имеет порядок не больше двух.- В частности, если кольцо коэффициентов содержит 1/2, то выполняется равенство
.
- В частности, если кольцо коэффициентов содержит 1/2, то выполняется равенство
- Классы Понтрягина с рациональными коэффициентами двух гомеоморфных многообразий совпадают (теорема С. П. Новикова)
- Известен пример, показывающий, что целочисленные классы Понтрягина не являются топологическими инвариантами.
- Для 2k-мерного расслоения справедливо равенство
где обозначает класс Эйлера (англ.).
Литература
- Понтрягин Л. С, «Матем. сб.», 1947, т. 21, с. 233—84;
- Новиков СП., «Докл. АН СССР», 1965, т. 163, с. 298—300;
- Дж. Милнор, Дж. Сташеф Характеристические классы = Characteristic classes. — М.: Мир, 1979. — 371 с. — 6500 экз.
В данной статье или разделе имеется список источников или внешних ссылок, но источники отдельных утверждений остаются неясными из-за отсутствия сносок. Вы можете улучшить статью, внеся более точные указания на источники.Категории:- Дифференциальная геометрия и топология
- Алгебраическая топология
Wikimedia Foundation. 2010.