Вигнеровский кристалл

Ви́гнеровский кристалл — упорядоченное состояние электронов, находящихся в поле положительного, равномерно распределённого заряда.

Простое объяснение

Термином кристалл в физике принято называть систему, у которой потенциальная энергия намного больше кинетической. Для множества электронов термином вигнеровский кристалл обозначают основное состояние кристаллической решётки, при котором $E_{kin} \ll E_{pot}$. Из-за соотношения неопределённостей кинетическую энергию нельзя положить равной 0, её минимальное значение даётся формулой

$\min E_{kin} \approx \frac {\hbar ^2 } {2 m^{*} L^2}$,

где $m^*$ — эффективная масса электрона, $p\approx\hbar/L$ — его импульс, $L$ — расстояние между электронами.

Согласно теоретическим расчётам^[1] вигнеровский кристалл наиболее устойчив при $L\approx37,5a_0$, где $a_0$ — боровский радиус.

Детальное рассмотрение

Вигнеровский кристалл образуется при низких темпеpатурax, если среднее расстояние между электронами значительно больше боровского радиуса. Вигнер показал, что минимальной энергией обладает состояние, в котором электроны локализованы и совершают малые колебания вблизи положений равновесия — узлов вигнеровской решётки. Минимум энергии обеспечивается уменьшением энергии кулоновского отталкивания электронов при образовании ими решётки. Кинетическая энергия электронов (равная при $T=0$ К энергии их нулевых колебаний вблизи положения равновесия) меньше потенциальной энергии на фактор $n^{1/3} a_0 \ll 1$, где $n$ — концентрация электронов, $a_0$ — боровский радиус.

При увеличении плотности электронов потенциальная и кинетическая энергии становятся сравнимыми, и при $n a^3_0 \sim 1$ устойчивым состоянием является не кристалл, а однородная «электронная жидкость». «Плавление» вигнеровского кристалла происходит также при повышении температуры. Вигнеровский кристалл обладает обычными свойствами кристаллических тел; в нём, в частности, отличен от 0 модуль сдвига и возможно распространение сдвиговых волн.

Энергия вигнеровского кристалла не изменяется при смещении всей электронной решётки относительно однородного положительного фона. Поэтому во внешнем электрическом поле $E$ решётка электронов движется как целое относительно фона. Такой механизм электропроводности называется фрелиховской проводимостью, характерной для всех структур, в которых образуются волны зарядовой плотности, частным случаем которых является вигнеровский кристалл.

Если положительный фон не является однородным, то происходит «зацепление» (пиннинг) электронной решётки за неоднородности и фрелиховская проводимость возможна лишь, если электрическое поле $E$ превосходит критическое поле $E$_кр, которое зависит от энергии зацепления.

Если положительный фон обладает периодичностью, то в решётке вигнеровского кристалла возникает периодическая модуляция плотности электронов. В зависимости от того, выражается ли отношение периодов электронной решётки и фона рациональным числом или иррациональным, возникает соизмеримая или несоизмеримая структура. Равновесным состояниям соответствуют минимумы энергии, разделённые потенциальными барьерами.

Реализация вигнеровского кристалла в трёхмерных твёрдых телах затруднительна из-за наличия примесей, компенсирующих объёмный заряд электронов. Иначе обстоит дело в двумерных системах — структурах металл — диэлектрик — полупроводник, электронов над поверхностью жидкого гелия и в других системах, где положительные и отрицательные заряды разнесены в пространстве на расстояние, значительно превышающее среднее расстояние $d$ между зарядами каждого слоя. Этим обеспечивается однородность фона.

В графене вигнеровская кристаллизация отсутствует, и, не рассматривая спинового взаимодействия, можно утверждать, что электроны одинаково взаимодействуют при любых концентрациях

Экспериментальные обнаружения

Резонансоное поглощение $R$ электромагнитных волн из-за образования вигнеровского кристалла

Экспериментально вигнеровский кристалл наблюдался впервые Граймсом (С. Grimes) и Адамсом (G. Adams) (США) в 1979 году для электронов над жидким гелием. Электрическое поле, создаваемое электродом $A$, несущим положительный заряд плотностью $q$, удерживает над поверхностью гелия электроны, плотность которых $n<q/|e|$. При низких темпеpатурax электроны располагаются в узлах треугольной решётки с периодом $d=2^{1/2} 3^{-1/4} n^{-1/2} \ge 2 \cdot 10^{-5}$ см, что во много раз меньше толщины слоя гелия ~ 1 мм. Из-за небольшой деформации поверхности под каждым электроном при их движении в касательном переменном электромагнитном поле возбуждаются капиллярные волны частотой $\omega$. Возникновение упорядоченного состояния приводит к резонансному поглощению электромагнитного излучения на частотах, при которых длины капиллярных волн кратны периоду вигнеровской решётки.

«Холодное» плавление вигнеровского кристалла в этой системене осуществимо, так как при повышении плотности электронов заряженная поверхность гелия становится неустойчивой. Плавление двумерного вигнеровского кристалла при повышении температуры является примером топологического фазового перехода. Он происходит из-за того, что при высоких температуpax становится выгодным образование дислокаций в электронной решётке, что приводит к её разрушению. Такой механизм плавления подтверждается как моделированием при помощи компьютера, так и экспериментально измеренными значениями температуры плавления и зависимости поперечной жёсткости от температуры.

См. также

• Двумерный электронный газ

Литература

• E. Wigner Phys. rev. 46, 1002 (1934) pdf
• Evidence for a Liquid-to-Crystal Phase Transition in a Classical, Two-Dimensional Sheet of Electrons Phys. Rev. Lett. 42, 795—798 (1979) pdf
• F. I. B. Williams et al. Phys. Rev. Lett. 66, 3285 (1991)

1. ↑ B. Tanatar and D. M. Ceperley «Ground state of the two-dimensional electron gas» (1988) pdf