Обобщённые интегралы Френеля

Обобщённые интегралы Френеля (интегралы Бёмера) — специальные функции, обобщающие интегралы Френеля. Введены Петером Бёмером в 1939 году.^[1]

Обобщённый косинус Френеля:

$\operatorname{C}(x,y) = \int_x^\infty t^{y-1}\cos(t) \, dt$

Обобщённый синус Френеля:

$\operatorname{S}(x,y) = \int_x^\infty t^{y-1}\sin(t) \, dt$

Соответственно, обычные интегралы Френеля выражаются через интегралы Бёмера следующим образом:

$\operatorname{S}(y) = \frac1{2}-\frac1{\sqrt{2\pi}}\cdot\operatorname{S}\left(\frac1{2},y^2\right)$

$\operatorname{C}(y) = \frac1{2}-\frac1{\sqrt{2\pi}}\cdot\operatorname{C}\left(\frac1{2},y^2\right)$

Также через обобщённые интегралы Френеля можно выразить интегральный синус и интегральный косинус:

$\operatorname{Si}(x) = \frac{\pi}{2}-\operatorname{S}(x,0)$

$\operatorname{Ci}(x) = \frac{\pi}{2}-\operatorname{C}(x,0)$

Литература

K. B. Oldham, J. C. Myland,J. Spanier An atlas of functions. — 2-е изд. — Springer, 2008. — 748 с.

Примечания

1. ↑ P. E. Böhmer Differenzengleichungen und bestimmte Integrale. — Leipzig, K. F. Koehler Verlag, 1939. — 148 с.