Модель упорядоченного выбора

Модель упорядоченного выбора (упорядоченная регрессия, англ. ordered choice) — применяемая в эконометрике модель с упорядоченной (с ранжированными значениями) дискретной зависимой переменной, в качестве которой могут выступать, например, оценки чего-либо по пятибалльной шкале, рейтинги компаний и т. д. В рамках данной модели предполагается, что количество значений зависимой переменной конечно.

Сущность модели

Пусть $y$ — наблюдаемая дискретная переменная с $q$ возможными упорядоченными значениями, которые для упрощения можно принять равными целым числам от $0$ до $q-1$ (или от $1$ до $q$). Пусть также $x$-вектор факторов, влияющих на значение зависимой переменной. Предполагается, что существует «обычная» (недискретная) скрытая переменная $y^*$, также зависящая от этих факторов, в зависимости от значений которой зависимая переменная принимает те или иные значения. Соответственно необходимо определить (их можно либо задать априорно, либо оценить вместе с другими параметрами модели) несколько пороговых значений скрытой переменной следующим образом:

$y= \begin{cases} 1, y^*\leqslant c_1\\ 2, c_1 < y^*\leqslant c_2\\ 3, c_2 < y^*\leqslant c_3\\ ...\\ q, y^*>c_{q-1} \end{cases}$

Соответственно, если обозначить $p_i=P(y=i|X=x)$, $i=1...q$, то

$p_i =P(c_{i-1} < y^*\leqslant c_i)$.

где $c_0=-\infty$, $c_q=\infty$.

Для скрытой переменной предполагается обычная линейная модель регрессии по факторам модели: $y^*=x^Tb+\varepsilon$. Обозначим интегральную функцию распределения случайной ошибки этой модели через $F$. Тогда

$p_i =P(c_{i-1} < y^*\leqslant c_i)=P(c_{i-1}- x^Tb< \varepsilon \leqslant c_i-x^Tb)=F(c_i-x^Tb)-F(c_{i-1}-x^Tb)$

С учетом того, что $F(c_0-x^Tb)=0$, $F(c_q-x^Tb)=1$ фактически модель упорядоченного выбора можно записать следующим образом:

$\begin{cases} p_1=F(c_1-x^Tb)\\ p_2= F(c_2-x^Tb)-F(c_1-x^Tb)\\ p_3= F(c_3-x^Tb)-F(c_2-x^Tb)\\ ...\\ p_q=1-F(c_{q-1}-x^Tb) \end{cases}$

В качестве распределения $F$ обычно используют либо нормальное распределение (упорядоченный пробит), либо логистическое распределение (упорядоченный логит)

Оценка параметров

Оценка параметров модели (включая пороговые значения) производится обычно методом максимального правдоподобия. Логарифмическая функция правдоподобия равна:

$l(b,c)=\sum^q_{i=1}\sum_{\forall t , y_t=i}\ln p_i(x_t)$

См. также

• Пробит-регрессия
• Логистическая регрессия

Для улучшения этой статьи желательно?: Найти и оформить в виде сносок ссылки на авторитетные источники, подтверждающие написанное.