- Локально конечное семейство подмножеств
-
В общей топологии локальная конечность является свойством семейства подмножеств топологического пространства. Это понятие является естественным обобщением понятия конечного семейства и играет ключевую роль при изучении паракомпактности и топологической размерности.
Заметим, что термин локальная конечность в других областях математики имеет отличные значения.
Содержание
Определение
Семейство подмножеств топологического пространства называется локально конечным, если всякая точка обладает окрестностью , пересекающейся с не более чем конечным числом элементов из этого семейства, то есть для всех , кроме, быть может, конечного числа индексов.
Очевидно, что конечное семейство является локально конечным, тогда как локально конечное семейство может иметь любую мощность.Например, рассмотрим бесконечное семейство интервалов на действительной прямой R (здесь — произвольное целое число). Каждая точка R имеет окрестность, которая пересекается не более чем с двумя интервалами семейства, то есть семейство является локально конечным.
В общем случае, счётное семейство не обязано быть локально конечным: достаточно рассмотреть семейство интервалов на действительной прямой.
Свойства
- Для локально конечного семейства справедливо равенство:
Как известно, это свойство выполняется для конечного семейства подмножеств, но в общем случае это не так. Можно только утверждать, что . Как следствие первого свойства:
- Объединение локально конечного семейства замкнутых множеств замкнуто.
- Бесконечное семейство подмножеств компактного пространства не может быть локально конечным.
См. также
Литература
- Александрян Р.А., Мирзаханян Э.А. Общая топология. — М.: Высшая школа, 1979
Категория:- Общая топология
Wikimedia Foundation. 2010.