Критерий Фридмана

Критерий Фридмана^[1] (англ. Friedman test) — непараметрический статистический тест, разработанный американским экономистом Милтоном Фридманом. Является обобщением критерия Уилкоксона и применяется для сопоставления $c$ условий измерения ($c \geqslant 3$) для $n$ объектов (испытуемых) с ранжированием по индивидуальным значениям измерений^[2]. Непараметрический аналог дисперсионного анализа с повторными измерениями ANOVA.

Задача

Дана выборка из $c$ измерений для каждого из $n$ испытуемых, которую можно представить в виде таблицы^[2][3]:

	Условия
№ объекта	$1$	$2$	$\dots$	$c$
$1$	$x_{11}$	$x_{21}$	$\dots$	$x_{c1}$
$2$	$x_{12}$	$x_{22}$	$\dots$	$x_{c2}$
$\vdots$	$\vdots$	$\vdots$	$\ddots$	$\vdots$
$n$	$x_{1n}$	$x_{2n}$	$\dots$	$x_{cn}$

В качестве нулевой гипотезы $H_0$ рассматривается следующая: «между полученными в разных условиях измерениями имеются лишь случайные различия»^[2]. Выбирается уровень значимости $\alpha$, например, $\alpha = 0,01$ (вероятность ошибочно отклонить нулевую гипотезу).

Проверка гипотезы

Для начала получим таблицу рангов по строкам, при котором получаем ранги $r_{ij}$ объекта $x_{ij}$ при ранжировке $x_{1j}, x_{2j}, \dots, x_{cj}$^[3]:

	Ранги
№ объекта	$1$	$2$	$\dots$	$c$
$1$	$r_{11}$	$r_{21}$	$\dots$	$r_{c1}$
$2$	$r_{12}$	$r_{22}$	$\dots$	$r_{c2}$
$\vdots$	$\vdots$	$\vdots$	$\ddots$	$\vdots$
$n$	$r_{1n}$	$r_{2n}$	$\dots$	$r_{cn}$

Получим суммы рангов и введём другие обозначения:

$R_{i} = \sum_{j=1}^{n}r_{ij}$

$\bar{R}_{i} = \frac{R_{i}}{n}$

$\bar{\bar{R}} = \frac{c+1}{2}$

Для проверки гипотезы будем использовать эмпирическое значение критерия — статистику:

$S = \frac{12n}{c(c+1)} \sum_{i=1}^{c} (\bar{R}_{i} - \bar{\bar{R}})$,

которую можно записать также в виде:

$S = \frac{12}{nc(c+1)} \sum_{i=1}^{c} R_{i}^2 - 3n(c+1)$

Нулевая гипотеза принимается, если критическое значение критерия превосходит эмпирическое:

$S < S_{\alpha}(n, c)$

Для малых значений $n$ и $c$ для критического значения Фридмана существуют таблицы для разных значений уровня значимости $\alpha$ (или доверительной вероятности^[3] $1-\alpha$).

При $n \geqslant 13$ и $c \geqslant 20$ применима аппроксимация — $\alpha$-квантиль распределения хи-квадрат с $c-1$ степенями свободы^[3]:

$S_{\alpha}(n, c) \approx \chi_\alpha^2(c-1)$

Для некоторых малых значений статистику можно преобразовать для аппроксимации $\alpha$-квантилью распределения Фишера или применить статистику Имана-Давенпорта^[3].

Примеры

Классические примеры применения:

• $n$ дегустаторов оценивают различные сорта вин. Имеют ли вина значимые отличия?
• Сварные швы, сделанные $n$ сварщиками с использованием $c$ сварочных горелок, были оценены по качеству. Есть ли отличия в качестве у какой-либо из горелок?

Апостериорный анализ

Апостериорный анализ (англ. post-hoc analysis) был предложен Шайхом и Хамерли (1984)^[4], а также Коновер (1971, 1980)^[5] для определения того, какие условия существенно отличаются друг от друга, на основании различия их средних рангов^[6].

Программная реализация

Тест Фридмана содержится во многих пакетах программ для статистической обработки данных (SPSS, R^[7] и других^[8]).

Не все статистические пакеты поддерживают апостериорный анализ для теста Фридмана, но программный код можно найти, например, для SPSS^[9] и R^[10].

Примечания

1. ↑ Кобзарь А. И. («Прикладная математическая статистика») называет этот критерий критерием Фридмена-Кендалла-Бэбингтона Смита
2. ↑ ^{1 2 3} Афанасьев, Сивов, 2010
3. ↑ ^{1 2 3 4 5} Кобзарь, 2006
4. ↑ Schaich, E. & Hamerle, A. (1984). Verteilungsfreie statistische Prüfverfahren. Berlin: Springer. ISBN 3-540-13776-9.
5. ↑ Conover, W. J. (1971, 1980). Practical nonparametric statistics. New York: Wiley. ISBN 0-471-16851-3.
6. ↑ Bortz, J., Lienert, G. & Boehnke, K. (2000). Verteilungsfreie Methoden in der Biostatistik. Berlin: Springer. ISBN 3-540-67590-6.
7. ↑ Friedman Rank Sum Test
8. ↑ Friedman's test
9. ↑ Post-hoc comparisons for Friedman test
10. ↑ Post hoc analysis for Friedman’s Test (R code)

Литература

• Афанасьев В. В., Сивов М. А. Математическая статистика в педагогике. — Ярославль: Издательство ЯГПУ, 2010. — С. 63-65. — 76 с. — ISBN 978-5-87555-366-0

• Кобзарь А. И. Прикладная математическая статистика. Для инженеров и научных работников. — М.: Физматлит, 2006. — С. 484-486. — 816 с. — ISBN 5-9221-0707-0

• Myles Hollander, Douglas A. Wolfe Nonparametric Statistical Methods. — New York: John Wiley & Sons, 1973. — 503 с. — P. 139–146. — ISBN 9780471406358

• Friedman, Milton (December 1937). «The use of ranks to avoid the assumption of normality implicit in the analysis of variance». Journal of the American Statistical Association (American Statistical Association) 32 (200): 675–701. DOI:10.2307/2279372.
• Friedman, Milton (March 1939). «A correction: The use of ranks to avoid the assumption of normality implicit in the analysis of variance». Journal of the American Statistical Association (American Statistical Association) 34 (205): 109. DOI:10.2307/2279169.
• Friedman, Milton (March 1940). «A comparison of alternative tests of significance for the problem of m rankings». The Annals of Mathematical Statistics 11 (1): 86–92. DOI:10.1214/aoms/1177731944.