Коэффициент упругости

Коэффицие́нт упру́гости (иногда называют коэффициентом Гука, коэффициентом жёсткости или жёсткостью пружины) — коэффициент, связывающий в законе Гука удлинение упругого тела и возникающую вследствие этого удлинения силу упругости. Применяется в механике твердого тела в разделе упругости. Обозначается буквой k^[1], иногда D^[2] или c^[3]. Имеет размерность Н/м или кг/с² (в СИ), дин/см или г/с² (в СГС).

Определение и свойства

Коэффициент упругости численно равен силе, которую надо приложить к пружине, чтобы её длина изменилась на единицу расстояния. Коэффициент упругости по определению равен силе упругости, делённой на изменение длины пружины: $k = F_\mathrm{e} / \Delta l.$^[4] Коэффициент упругости зависит как от свойств материала, так и от размеров упругого тела. Так, для упругого стержня можно выделить зависимость от размеров стержня (площади поперечного сечения $S$ и длины $L$), записав коэффициент упругости как $k = E \cdot S / L.$ Величина $E$ называется модулем Юнга и, в отличие от коэффициента упругости, зависит только от свойств материала пружины^[5].

Жёсткость деформируемых тел при их соединении

Параллельное соединение пружин.

Последовательное соединение пружин.

При соединении нескольких упруго деформируемых тел (далее для краткости — пружин) общая жёсткость системы будет меняться. При параллельном соединении жёсткость увеличивается, при последовательном — уменьшается.

Параллельное соединение

При параллельном соединении $n$ пружин с жёсткостями, равными $k_1, k_2, k_3,...,k_n,$ жёсткость системы равна сумме жёсткостей, то есть $k= k_1 + k_2 + k_3 + ... + k_n.$

Доказательство

В параллельном соединении имеется $n$ пружин с жёсткостями $k_1, k_2, ... , k_n.$ К ним прикладывается сила $F.$ При этом к пружине 1 прикладывается сила $F_1,$ к пружине 2 сила $F_2,$ … , к пружине $n$ сила $F_n.$

Из III закона Ньютона, $F = F_1 + F_2 + ... + F_n \qquad \qquad (1).$

Теперь из закона Гука выведем: $F = k x; F_1 = k_1 x; F_2 = k_2 x; ...; F_n = k_n x.$ Подставим эти выражения в равенство (1): $k x = k_1 x + k_2 x + ... + k_n x;$ сократив на $x,$ получим: $k = k_1 + k_2 + ... + k_n,$ что и требовалось доказать.

Последовательное соединенение

При последовательном соединении $n$ пружин с жёсткостями, равными $k_1, k_2, k_3,...,k_n,$ общая жёсткость равна единице, делённой на сумму обратных величин жёсткостей, то есть $k=1 / (1 / k_1 + 1 / k_2 + 1 / k_3 + ... + 1 / k_n).$

Доказательство

В последовательном соединении имеется $n$ пружин с жёсткостями $k_1, k_2, ... , k_n.$ Из закона Гука следует, что $F = k \cdot l.$ Сумма удлинений каждой пружины равна общему удлинению всего соединения $l_1 + l_2+ ... + l_n = l. \qquad \qquad (2)$

На каждую пружину действует одна и та же сила $F.$ Согласно закону Гука, $F = l_1 \cdot k_1 = l_2 \cdot k_2 = ... = l_n \cdot k_n .$ Из предыдущих выражений выведем: $l = F/k, \quad l_1 = F / k_1, \quad l_2 = F / k_2, \quad ..., \quad l_n = F / k_n.$ Подставив эти выражения в (2) и разделив на $F,$ получаем $1 / k = 1 / k_1 + 1 / k_2 + ... + 1 / k_n,$ что и требовалось доказать.

Жёсткость некоторых деформируемых тел

Стержень постоянного сечения

Однородный стержень постоянного сечения, упруго деформируемый вдоль оси, имеет коэффициент жёсткости

$k=\frac{E \, A}{L_0},$

где

Е — модуль Юнга, зависящий только от материала, из которого выполнен стержень;

A — площадь поперечного сечения стержня;

L₀ — длина стержня.

Цилиндрическая витая пружина

Витая цилиндрическая пружина сжатия.

Витая цилиндрическая пружина сжатия или растяжения, намотанная из цилиндрической проволоки и упруго деформируемая вдоль оси, имеет коэффициент жёсткости

$k = \frac{G \cdot d_\mathrm{D}^4}{8 \cdot d_\mathrm{F}^3 \cdot n},$

где

d_D — диаметр проволоки;

d_F — диаметр намотки (измеряемый от оси проволоки);

n — число витков;

G — модуль сдвига (для обычной стали G ≈ 80 ГПа, для меди ~ 45 ГПа).

См. также

• Закон Гука
• Сила упругости
• Роберт Гук
• Модуль Юнга
• Крутильная жёсткость

Источники и примечания

1. ↑ Упругая деформация  (рус.). Архивировано из первоисточника 30 июня 2012.
2. ↑ Dieter Meschede, Christian Gerthsen. Physik. — Springer, 2004. — P. 181..
3. ↑ Bruno Assmann. Technische Mechanik: Kinematik und Kinetik. — Oldenbourg, 2004. — P. 11..
4. ↑ Динамика, Сила упругости  (рус.). Архивировано из первоисточника 30 июня 2012.
5. ↑ Механические свойства тел  (рус.). Архивировано из первоисточника 30 июня 2012.