Гребень Дирака

Гребень Дирака - бесконечный ряд

Гребень Дирака — это периодическое распределение Шварца, построенное из дельта-функций

$\Delta_T(t) \ \stackrel{\mathrm{def}}{=}\ \sum_{k=-\infty}^{\infty} \delta(t - k T)$

для некоторого заданного периода T.

Ряды Фурье

Очевидно, что Δ_T(t) периодическая с периодом T. Поэтому

$\Delta_T(t+T) = \Delta_T(t)\,$

для всех t. Комплексный ряд Фурье для такой периодической функции

$\Delta_T(t) = \sum_{n=-\infty}^{+\infty} c_n e^{i 2 \pi n t/T} \$

где c_n коэффициенты Фурье, равные

$c_n\,$	$= \frac{1}{T} \int_{t_0}^{t_0 + T} \Delta_T(t) e^{-i 2 \pi n t/T}\, dt \quad ( -\infty < t_0 < +\infty ) \$
	$= \frac{1}{T} \int_{-T/2}^{T/2} \Delta_T(t) e^{-i 2 \pi n t/T}\, dt \$
	$= \frac{1}{T} \int_{-T/2}^{T/2} \delta(t) e^{-i 2 \pi n t/T}\, dt \$
	$= \frac{1}{T} e^{-i 2 \pi n \, 0/T} \$
	$= \frac{1}{T}. \$

В результате того, что все коэффициенты Фурье равны 1/T, получаем окончательное выражение

$\Delta_T(t) = \frac{1}{T}\sum_{n=-\infty}^{\infty} e^{i 2 \pi n t/T}$.

Ссылки

• Bracewell, R.N. (1986), «The Fourier Transform and Its Applications» (revised ed.), McGraw-Hill ; 1st ed. 1965, 2nd ed. 1978.
• Córdoba, A (1989), "«Dirac combs»", Letters in Mathematical Physics Т. 17: 191–196