Теорема Пика (комплексный анализ)

У этого термина существуют и другие значения, см. Теорема Пика.

Теорема Пика, или теорема Шварца — Пика, инвариантная форма леммы Шварца, — обобщение леммы Шварца, состоящее в следующем:

Пусть $w=f(z)$ — регулярная аналитическая функция из единичного круга в единичный круг $Q=\left\{z\in\C:|z|<1\right\};\;f:Q\to Q.$ Тогда для любых точек $z_1$ и $z_2$ круга $Q$ неевклидово расстояние $d(w_1,\;w_2)$ их образов $w_1=f(z_1)$, $w_2=f(z_2)$ не превосходит неевклидова расстояния $d(z_1,\;z_2)$. Равенство достигается только в том случае, когда $w=f(z)$ есть дробно-линейная функция, отображающая круг $Q$ на себя.

Условие

$d(w_1,\;w_2)\leqslant d(z_1,\;z_2)$

эквивалентно следующему неравенству:

$\left|\frac{f(z_1)-f(z_2)}{1-\overline{f(z_1)}f(z_2)}\right|\leqslant\frac{\left|z_1-z_2\right|}{\left|1-\overline{z_1}z_2\right|}.$

Если $z_1$ и $z_2$ бесконечно близки, оно превращается в

$\frac{\left|f'(z)\right|}{1-\left|f(z)\right|^2}\leqslant\frac{1}{1-\left|z\right|^2}.$

Литература

• Рiсk G. Mathematische Annalen. — 1016. — Bd 77. — S. 1—6.
• Голузин Г. М. Геометрическая теория функций комплексного переменного. — 2 изд. — М., 1966.