- Лемма Шварца
-
Формулировка
Пусть
— единичный круг на комплексной плоскости
. Далее, пусть функция
аналитична в
и удовлетворяет двум условиям:
;
, или, что равносильно,
.
Тогда:
в
для ненулевого
;
.
Более того, оба эти неравенства превращаются в равенства тогда и только тогда, когда функция имеет вид
, то есть она сводится к повороту.
Вариации и обобщения
- Лемма Шварца применением к исходному кругу дробно-линейного отображения автоматически ведёт к более общему утверждению — теореме Шварца — Пика.
Литература
- Шабат Б. В. Введение в комплексный анализ. — М.: Наука, 1969. — 577 с.
- Титчмарш Е. Теория функций: Пер. с англ. — 2-е изд., перераб. — М.: Наука, 1980. — 464 с.
- Привалов И. И. Введение в теорию функций комплексного переменного: Пособие для высшей школы. — М.-Л.: Государственное издательство, 1927. — 316 с.
- Евграфов М. А. Аналитические функции. — 2-е изд., перераб. и дополн. — М.: Наука, 1968. — 472 с.
Категории:- Комплексный анализ
- Леммы
Wikimedia Foundation. 2010.