Цепь Чуа

Рисунок 1 — Цепь Чуа. L,G,C1,C2-пассивные элементы, g-диод Чуа. В классическом варианте предлагаются следующие значения элементов: L=1/7Гн;G=0.7См;C1=1/9Ф;C2=1Ф

Цепь Чуа, схема Чуа — простейшая электрическая цепь, демонстрирующая режимы хаотических колебаний. Была предложена профессором Калифорнийского университета Леоном Чуа в 1983 году. Цепь состоит из двух конденсаторов, одной катушки индуктивности, линейного резистора и нелинейного резистора с отрицательным сопротивлением (обычно называемого диодом Чуа).

Уравнение цепи имеет вид:

$\left \{ \begin{matrix} C_1\frac{d v_{C_1}}{dt}=G(v_{C_2}-v_{C_1})-g(v_{C_1})\\ C_2\frac{d v_{C_2}}{dt}=G(v_{C_1}-v_{C_2})+i_{L} \\ L \frac{di_{L}}{dt}=-v_{C_2} \end{matrix} \right.$

где $g(v_{C_1})$ — кусочно-линейная функция, определенная как

$g(v_{C_1})=G_b v_{C_1} + \frac{1}{2} (G_a - G_b)( |v_{C_1}+E| - |v_{C_1}-E| )$

Рисунок 2 — Вольт-амперная характеристика диода Чуа. Также показана нагрузочная прямая, от пересечения с которой образуются три точки равновесия d,0 и -d

Эта нелинейная функция представлена графически на рисунке 2: крутизна внутреннего и внешнего участков есть Ga и Gb, соответственно; при этом точки ±Е соответствуют изломам на графике.

Выполним следующие замены на безразмерные коэффициенты:

$m_0=\frac{G_a}{G} ; m_1=\frac{G_b}{G}; \alpha=\frac{C_2}{C_1};\beta=\frac{C_2}{L G^2}$

$\tau = \frac{t G}{C_2}; x=\frac{v_{C_1}}{E}; y=\frac{v_{C_2}}{E};z=\frac{i_L}{G}$

Основная система уравнений запишется в виде:

$\left \{ \begin{matrix} \frac{dx}{d\tau}=\alpha [y-x-h(x)] \\ \frac{dy}{d\tau}=x-y+z \\ \frac{dz}{d\tau}=-\beta y \end{matrix} \right.$

где

$h(x)=m_1 x+\frac{1}{2}(m_0-m_1)( |x+1|-|x-1|)$

Цепь Чуа обнаруживает хаотические режимы колебаний в довольно узкой области параметров. Основные режимы колебаний условно показаны на рисунке 3.

Рисунок 3 — Бифуркационная диаграмма режимов при m₀=-8/7,m₁=-5/7

В случае, когда параметры α и β принадлежат области, обозначенной на диаграмме цифрой 1 в системе существуют два устойчивых положения равновесия d и -d и одно неустойчивое, находящееся в начале координат 0. В этом случае цепь Чуа в зависимости от начальных условий будет стремиться к одному из двух устойчивых положений равновесия. В случае, когда параметры системы находятся в области помеченной цифрой 2 в окрестности точки равновесия d или -d существует устойчивый предельный цикл. По мере приближения к границе с хаотическим режимом, система претерпевает цикл удвоений периода вплоть до образования хаотического аттрактора Рёсслера. Приращение значений параметра перед наступлением каждой последующей бифуркации удвоения периода уменьшается согласно соотношению Фейгенбаума. При попадении параметров в область помеченную цифрой 6 образуется странный аттрактор (рисунок 4), называемый «двойной завиток» («double scroll»). При этом типе поведения траектория система проходит в окрестности и верхнего, и нижнего положения равновесия. Внутри области существования аттрактора «double scroll» также существуют окна периодичности, подобные тем, которые существовали в области аттрактора Рёсслера. Отличием их является то, что периодическая орбита в этом случае охватывает оба положения равновесия. Когда параметры α и β переходят в область, помеченную на рисунке 3 цифрой 11, в колебательной системе наблюдаются колебания неограниченно нарастающей амплитуды вне зависимости от начальных условий. Поскольку диод Чуа реализуется на операционных усилителях, он имеет ограниченный динамический диапазон и поэтому в системе существует также большой по размерам устойчивый предельный цикл, охватывающий все сегменты характеристики диода Чуа.

Рисунок 4 — Аттрактор типа двойной завиток. Фигура Лиссажу i_L от v_С1 при L=1/7Гн; G=0.7См; C1=1/9Ф; C2=1Ф; Ga=-0.8А/В; Gb=-0.5А/В

На рисунках 5 , 6 показаны временные зависимости колебаний, обнаруживаемых данной системой.

Рисунок 5 — Временная зависимость v_C1 для случая L=1/7Гн; G=0.7См; C1=1/9Ф; C2=1Ф; Ga=-0.8А/В; Gb=-0.5А/В

Рисунок 6 — Временная зависимость v_C2 для случая L=1/7Гн; G=0.7См; C1=1/9Ф; C2=1Ф; Ga=-0.8А/В; Gb=-0.5А/В

Осциллятор Чуа

Термин «Осциллятор Чуа» используется для рассмотрения цепи Чуа с учётом активного сопротивления катушки индуктивности L. Данная схема имеет ещё большее число разнообразных режимов и может быть реализована практически (рисунок 7).

Рисунок 7 — Практическая схема осциллятора Чуа. L1=8.5мГн C1=4.8нФ C2=69нФ R=1.3кОм

Принимая R₀ — активное сопротивление катушки индуктивности L получим систему уравнений:

$\left \{ \begin{matrix} C_1\frac{d v_{c_1}}{dt}=G(v_{C_2}-v_{C_1})-g(v_{C_1}) \\ C_2\frac{d v_{c_2}}{dt}=G(v_{C_1}-v_{C_2})+i_{L} \\ L \frac{di_{L}}{dt}=-v_{C_2}+R_{0} i_{L} \end{matrix} \right.$

Лёгкость практической реализации, а также наличие относительно простой математической модели делает цепь Чуа удобной моделью при изучении теории хаоса.

Литература

• Кузнецов А.П. Наглядные образы хаоса // Соросовский образовательный журнал, 2000, № 11, с. 104-110;
• Бугаевский М. Ю., Пономаренко В. И. Исследование поведения цепи Чуа. Учебно-методическое пособие, — Саратов: Издательство ГосУНЦ «Колледж», 1998. — 29 с.
• Matsumoto, T. A Chaotic Attractor from Chua’s Circuit, IEEE Transactions on Circuits & Systems,1984, vol.CAS-31, no.12, pp.1055-1058.
• Chua, L.O., Komuro, M., Matsumoto, T. "The Double Scroll Family, " IEEE Transactions on Circuits & Systems,1986, vol.CAS-33, no.11, pp.1073-1118.
• T. Matsumoto, L. O. Chua, M. Komuro «Birth and death of the double scroll» Physica D Volume 24 , Issue 1-3 (Jan. / Feb. 1987)

Ссылки

• Chua’s Circuit diagrams, equations, simulation and pictures Чуа Схемы, формулы, моделирования и фотографии
• Chua’s Circuit: Diagram and discussion
• NOEL laboratory. Leon O. Chua’s laboratory at the University of California, Berkeley
• References
• ТИИЭР Том 75 № 8 Август 1987

Для улучшения этой статьи желательно?: Викифицировать статью. Проставив сноски, внести более точные указания на источники.