Число торта

В математике число торта, обозначаемое C_n, — это максимальное число областей, на которое может быть поделён трёхмерный куб количеством n плоскостей. Число торта называется именно так, потому что можно представить, что плоскости — это разрезы, сделанные ножом в торте, имеющем форму куба.

Значение C_n для возрастающих n ≥ 0 даются следующим рядом 1, 2, 4, 8, 15, 26, 42, 64, 93, 130, 176, 232, 299, 378, 470, 576, 697, 834, 988, 1160, 1351, 1562, 1794, 2048, 2325, 2626, 2952, 3304, 3683, 4090, 4526, 4992, 5489, 6018, 6580, 7176, 7807, 8474,

9178, 9920, 10701, 11522, 12384, 13288, 14235, 15226, …^[1]

Число торта является трёхмерным аналогом двухмерных центральных многоугольных чисел; последовательность, образованная разностью между двумя последовательно расположенными числами торта, представляет собой последовательность центральных многоугольных чисел.

Общая формула

Если n! обозначает факториал, и мы обозначим биноминальные коэффициенты как

${n \choose k} = \frac{n!}{k! \, (n-k)!} ,$

принимая, что n плоскостей делят куб, то число торта таково: ^[2]

$C_n = {n \choose 3} + {n \choose 2} + {n \choose 1} + {n \choose 0} = \frac{1}{6}(n^3 + 5n + 6).$

Примечания

1. ↑ The On-Line Encyclopedia of Integer Sequences A000125: Cake Numbers. Проверено 19 августа 2010.
2. ↑ Eric Weisstein Space Division by Planes. Проверено 19 августа 2010.