Цепочка Тоды

Цепо́чка То́ды (англ. Toda's chain) — система дискретных нелинейных уравнений, описывающих динамику взаимосвязанных нелинейных осцилляторов. Имеет важное значение в теории колебаний кристаллических решёток.

Система в общем случае имеет вид^[1]:

$m\ddot{r}_n = 2f(r_n) - f(r_{n+1}) - f(r_{n-1})$

где $r_n(t)$ имеет смысл величины отклонения n-ого осицллятора от положения равновесия, а $f(r_i)$ — нелинейная функция, имеющая смысл возвращающей силы, действующей на i-ый осциллятор. Точки означают взятие операции дифференцирования.

Впервые предложена и проанализирована для случая $f(t) = - \alpha (1 - \exp(-\beta t))$ Морикадзу Тодой в 1967 году^[2][3].

Эквивалентная форма

Уравнение цепочки Тоды удобно анализировать в эквивалентной форме следующего вида

$\dot{s}_n = f(r_n)$

$m\dot{r}_n = 2s_n - s_{n+1} - s_{n-1}$

Решения

Можно показать, что уравнения, описывающие динамику цепочки Тоды, имеют решения в виде стационарных бегущих волн, имеющих вид

$s_n = S(\theta) = S(\omega t - pn) \,$

где функция $S(\theta)$ в случае, если $f(r_i) = - \alpha (1 - \exp(-\beta t))$, удовлетворяет уравнению

$\frac{m\omega^2}{\beta}\frac{S''}{\alpha + \omega S'} = S(\theta+p) + S(\theta-p) - S(\theta)$

Решение этого уравнения выражается через эллиптические функции Якоби:

$S(\theta) = bZ(2K\theta) \,$

где

$Z(\theta) = E(\theta) - \theta\frac{E(K)}{K}$ — дзета-функция Якоби, имеющая период 2K

$E(\zeta) = \int\limits_0^\zeta \mathrm{dn}^2z dz$

Здесь K — полный эллиптический интеграл первого рода. Связь коэффициентов b и $\omega$ с параметрами $\alpha$, $\beta$ и m достаточно сложна, однако упрощается в предельных случаях.

Функция $r_n$ находится из соотношения

$- \alpha \left(1 - e^{-\beta r_n}\right) = \dot{s}_n = 2K\omega b\left(\mathrm{dn}^2 2K\theta - \frac{E}{K}\right)$

Особым решением является уединённое локализованное решение солитонного типа. Оно может быть получено в пределе $K\to\infty$, при одновременном выполнении условий:

$2K\omega\to\Omega$

$2Kp\to P$

В этом случае эллиптические функции переходят в гиперболические, и решение принимает вид

$- \alpha \left(1 - \beta e^{-r_n}\right) = \frac{m\Omega^2}{\beta\cosh^2\left[\Omega t - Pn\right]}$

М. Тода в своих работах показал, что эти солитоны после взаимодействия друг с другом не изменяют первоначальную форму. Любое начальное распределение в процессе эволюции разделяется на множество солитонов. Точное решение этой задачи было получено методом обратной задачи рассеяния^[4][5].

Примечания

1. ↑ Дж. Уизем Линейные и нелинейные волны. — Мир, 1977. — С. 554. — 622 с.
2. ↑ Morikazu Toda Vibration of a Chain with Nonlinear Interaction (англ.) // J. Phys. Soc. Jpn.. — 1967. — Т. 22. — С. 431-436.
3. ↑ Morikazu Toda Wave Propagation in Anharmonic Lattices (англ.) // J. Phys. Soc. Jpn.. — 1967. — Т. 23. — С. 501-506.
4. ↑ С. В. Манаков О полной интегрируемости и стохастизации в дискретных динамических системах // ЖЭТФ. — 1974. — Т. 67. — № 2. — С. 543—555.
5. ↑ H. Flashka On the Toda lattice II (англ.) // Progr. Theor. Phys.. — 1974. — Т. 51. — С. 703—716.

Литература

• Morikazu Toda Studies of a non-linear lattice (англ.) // Physics Reports. — 1975. — В. 1. — Т. 18. — С. 1—123.
• Дж. Уизем Линейные и нелинейные волны. — Мир, 1977. — С. 584—588. — 622 с.

Связать^?

На эту статью не ссылаются другие статьи Википедии. Пожалуйста, воспользуйтесь подсказкой и установите ссылки в соответствии с принятыми рекомендациями.