Условия Коши

Условия Коши — Римана, называемые также условиями д’Аламбера — Эйлера — соотношения, связывающие вещественную $\,u=u(x,y)$ и мнимую $\,v=v(x,y)$ части всякой дифференцируемой функции комплексного переменного $\,w=f(z)=u+iv,\ z=x+iy$.

Формулировка

В декартовых координатах

Для того чтобы функция $\,w=f(z)$, определённая в некоторой области $\,D$ комплексной плоскости, была дифференцируема в точке $\,z_0=x_0+iy_0$ как функция комплексного переменного $\,z$, необходимо и достаточно, чтобы её вещественная и мнимая части $\,u$ и $\,v$ были дифференцируемы в точке $\,(x_0,y_0)$ как функции вещественных переменных $\,x$ и $\,y$ и чтобы, кроме того, в этой точке выполнялись условия Коши — Римана:

$\frac{\partial u}{\partial x}=\frac{\partial v}{\partial y} ;$

$\frac{\partial u}{\partial y}= -\frac{\partial v}{\partial x} .$

Компактная запись:

$\frac{\partial f}{\partial x} + i \frac{\partial f}{\partial y} = 0 .$

Если условия Коши — Римана выполнены, то производная $\,f'(z)$ представима в любой из следующих форм:

$\,f'(z) = \frac{\partial u}{\partial x} + i \frac{\partial v}{\partial x} = \frac{\partial v}{\partial y} - i \frac{\partial u}{\partial y}.$

Доказательство

1. Необходимость

По условию теоремы существует предел

$\,f'(z_0) = \lim\limits_{\Delta z \to 0} \frac{f(z_0+\Delta z)-f(z_0)}{\Delta z}$,

не зависящий от способа стремления $\Delta z$ к нулю. Положим $\Delta z = \Delta x$ и рассмотрим выражение

$\,f'(z_0) = \lim\limits_{\Delta x \to 0} \frac{u(x_0+\Delta x, y_0)-u(x_0, y_0)}{\Delta x} + i \lim\limits_{\Delta x \to 0} \frac{v(x_0+\Delta x, y_0)-v(x_0, y_0)}{\Delta x}$.

Из существования предела комплексного выражения следует существование действительной и мнимой его частей. Поэтому в точке $x_0, y_0$ существуют частные производные по x функций u(x,y) и v(x,y) и имеет место формула

$\,f'(z_0) = u_x(x_0, y_0)+iv_x(x_0, y_0)$

Полагая $\Delta z = i \Delta y$, находим

$\,f'(z_0) = -i \lim\limits_{\Delta y \to 0} \frac{u(x_0, y_0+\Delta y)-u(x_0, y_0)}{\Delta y} + \lim\limits_{\Delta y \to 0} \frac{v(x_0, y_0+\Delta y)-v(x_0, y_0)}{\Delta y} = -iu_y(x_0, y_0)+v_y(x_0, y_0)$.

Сравнивая две последние формулы, убеждаемся в справедливости условий Коши-Римана.

2. Достаточность

По определению дифференцируемости, приращения функций $\,u(x,y)$ и $\,v(x,y)$ в окрестности точки $(x_0, y_0)$ могут быть записаны в виде

$\,u(x_0+\Delta x, y_0 + \Delta y)-u(x_0, y_0)= u_x(x_0,y_0)\Delta x + u_y(x_0,y_0)\Delta y +\xi(x,y)$,

$\,v(x_0+\Delta x, y_0 + \Delta y)-v(x_0, y_0)= v_x(x_0,y_0)\Delta x + v_y(x_0,y_0)\Delta y +\eta(x,y)$,

где функции $\xi(x,y)$ и $\eta(x,y)$ стремятся к нулю при $x \rightarrow x_0$, $y \rightarrow y_0$ быстрее, чем $\Delta x$ и $\Delta y\qquad$ $(\lim\limits_{|\Delta z| \to 0} \frac{\xi(x,y)}{|\Delta z|}=0$, $\lim\limits_{|\Delta z| \to 0} \frac{\eta(x,y)}{|\Delta z|}=0$, $|\Delta z|=\sqrt{(\Delta x)^2+(\Delta y)^2})$. Составим теперь разностное соотношение $\, \frac{f(z_0+\Delta z)-f(z_0)}{\Delta z}$, где $\, \Delta z = \Delta x + i \Delta y$ и преобразуем его к виду

$\, \frac{f(z_0+\Delta z)-f(z_0)}{\Delta z} = u_x(x_0, y_0)\frac{\Delta x + i \Delta y}{\Delta x + i \Delta y} + v_x(x_0, y_0)\frac{i \Delta x - \Delta y}{\Delta x + i \Delta y} + \frac{\xi(x,y)+i\eta(x,y)}{\Delta x + i \Delta y} = u_x(x_0, y_0) + iv_x(x_0, y_0)+\frac{\zeta(z)}{\Delta z}$

$\, (\zeta(z) = \xi(x,y)+i\eta(x,y))$.

Заметим, что при стремлении $\, \Delta z$ к нулю последнее слагаемое этой формулы стремится к нулю, а первые остаются неизменными. Поэтому существует предел $\,\lim\limits_{\Delta z \to 0} \frac{f(z_0+\Delta z)-f(z_0)}{\Delta z} = f'(z_0)$, что и доказывает дифференцируемость функции $\,f(z)$ в точке $\,z_0$.

В полярных координатах

В полярной системе координат $(r, \varphi)$ условия Коши-Римана выглядят так:

$\frac{\partial u}{\partial r} = \frac{1}{r}\frac{\partial v}{\partial \varphi};\quad \frac{\partial u}{\partial \varphi} = -r \frac{\partial v}{\partial r}.$

Компактная запись:

$\frac{\partial f}{\partial r} + \frac{i}{r}\frac{\partial f}{\partial \varphi} = 0 .$

Связь модуля и аргумента дифференцируемой комплексной функции

Часто удобно записывать комплексную функцию в показательной форме:

$\,f(z) = R(x, y) e^{i \Phi (x, y)}$

Тогда условия Коши-Римана связывают модуль $\,R$ и аргумент $\,\Phi$ функции следующим образом:

$\frac{\partial R}{\partial x} = R \frac{\partial \Phi}{\partial y};\quad\frac{\partial R}{\partial y} = - R \frac{\partial \Phi}{\partial x}$

Геометрический смысл условий Коши-Римана

Пусть функция $w=f(z)=u(x, y)+iv(x, y),\ z=x+iy$ дифференцируема. Рассмотрим в комплексной плоскости $(x, y)$ два семейства кривых (линии уровня).

Первое семейство: $u(x, y)=const.$

Второе семейство: $v(x, y)=const.$

Тогда условия Коши-Римана означают, что кривые первого семейства ортогональны кривым второго семейства.

Алгебраический смысл условий Коши-Римана

Если рассматривать множество комплексных чисел $\mathbb{C}$ как векторное пространство над $\mathbb{R}$, то значение производной функции $f\colon\mathbb{C}\to\mathbb{C}$ в точке является линейным отображением из 2-мерного векторного пространства $\mathbb{C}$ в себя ($\mathbb{R}$-линейность). Если же рассматривать $\mathbb{C}$ как одномерное векторное пространство над $\mathbb{C}$, то и производная в точке будет линейным отображением одномерного векторного пространства $\mathbb{C}$ в себя ($\mathbb{C}$-линейность), которое в координатах представляет собой умножение на комплексное число $f'(z)$. Очевидно, всякое $\mathbb{C}$-линейное отображение $\mathbb{R}$-линейно. Так как поле (одномерное векторное пространство) $\mathbb{C}$ изоморфмно полю вещественных матриц вида $\begin{pmatrix} a & b\\-b & a \end{pmatrix}$ с обычными матричными операциями, условия Коши-Римана, накладываемые на элементы матрицы Якоби отображения $f$ в точке $z$ (точнее, отображения $\tilde{f}: (x, y)\mapsto (u(x, y), v(x, y))$ в точке $(x, y)$), являются условиями $\mathbb{C}$-линейности $f'(z)$, т.е. $\tilde{f}'(x, y)$.

История

Эти условия впервые появились в работе д'Аламбера (1752). В работе Эйлера, доложенной Петербургской академии наук в 1777 году, условия получили впервые характер общего признака аналитичности функций.

Коши пользовался этими соотношениями для построения теории функций, начиная с мемуара, представленного Парижской академии наук в 1814 году. Знаменитая диссертация Римана об основах теории функций относится к 1851 году.

См. также

• Комплексный анализ

Литература

• Евграфов М. А. Аналитические функции. — 2-е изд., перераб. и дополн. — М.: Наука, 1968. — 472 с.
• Привалов И. И. Введение в теорию функций комплексного переменного: Пособие для высшей школы. — М.-Л.: Государственное издательство, 1927. — 316 с.
• Свешников А. Г., Тихонов А. Н. Теория функций комплексной переменной. — М.: Наука, 1974. — 320 с.
• Титчмарш Е. Теория функций: Пер. с англ. — 2-е изд., перераб. — М.: Наука, 1980. — 464 с.
• Шабат Б. В. Введение в комплексный анализ. — М.: Наука, 1969. — 577 с.
• Картан А. Дифференциальное исчисление. Дифференциальные формы. — М.: Мир, 1971. — 392 с.