Тест Шура

В функциональном анализе, Тест Шура (названный в честь математика Исая Шура) действующий для интегральных операторов с ядром действующим $L^2\to L^2$.

Такой тест позволяет дать оценку норме интегрального оператора что позволяет делать вывод о его непрерывности.

Определение

Пусть $S,\,T$ это два измеримых множества (например $\mathbb{R}^n$), пусть $\,U$ это интегральный оператор:

$(U f)(s)=\int_T K(s,t)f(t)\,dt$ с ядром $K(s,t):S\times T\to\mathbb{R}(\mathbb{C})$.

Если найдутся функции $\phi :S\to\mathbb{R}>0$ и $\psi :T\to\mathbb{R}>0$ и числа $\,A,B>0$ такие что:

$(1)\qquad \int_S |K(s,t)|\phi(s)\,ds\le A\psi(t)$

для почти всех $t \in T$ и

$(2)\qquad \int_T |K(s,t)|\psi(t)\,dt\le B\phi(s)$

для почти всех $s \in S$,

Тогда $\,U$ непрерывный оператор действующий $\,U:L^2\to L^2$ с нормой: $\Vert T\Vert_{L^2\to L^2} \le\sqrt{AB}.$

(Функции $\,\phi$, $\,\psi$ называют функциями теста Шура)

Доказательство

$|(Uf)(s)|=|\int_T |K(s,t)|\cdot f(t)dt| \le \int_T \sqrt{|K(s,t)|\cdot \psi(t)}\cdot \sqrt{|K(s,t)|\cdot f^2(t)\frac{1}{\psi(t)}}\cdot dt\le$
по неравенству Шварца:
$\le \sqrt{\int_T |K(s,t)|\cdot \psi(t)\cdot dt}\cdot \sqrt{\int_T |K(s,t)|\cdot|f(t)|^2\frac{1}{\psi(t)}\cdot dt}$
возведем в квадрат и проинтегрируем по $S$:
$\int_S |(Uf)(s)|^2\cdot ds\le B\int_S \phi(s) \int_T |K(s,t)|\cdot|f(t)|^2\frac{1}{\psi(t)}\cdot dtds=$
далее по теореме Фубини:
$=B\int_T \frac{|f(t)|^2}{\psi(t)} \int_S |K(s,t)|\cdot \phi(s)\cdot dsdt\le AB\int_T |f(t)|^2\cdot dt$
следовательно извлекая корень:
$||U(f)||_2 \le \sqrt{AB}\cdot||f||_2$

См. также

• Непрерывный оператор
• Шур, Исай

В этой статье не хватает ссылок на источники информации. Информация должна быть проверяема, иначе она может быть поставлена под сомнение и удалена. Вы можете отредактировать эту статью, добавив ссылки на авторитетные источники. Эта отметка установлена 15 мая 2011.

Связать^?

На эту статью не ссылаются другие статьи Википедии. Пожалуйста, воспользуйтесь подсказкой и установите ссылки в соответствии с принятыми рекомендациями.