Теорема Мори

Теорема Мори (англ. Morrie's law) — это случайное название следующего тригонометрического тождества:

$\cos(20^\circ) \cdot \cos(40^\circ) \cdot \cos(80^\circ)=\frac{1}{8}.$

Это частный случай более общего тождества

$2^n \cdot \prod_{k=0}^{n-1} \cos(2^k \alpha)=\frac{\sin(2^n \alpha)}{\sin(\alpha)}$

при n = 3 и α = 20°. «Теорема Мори» получила своё название благодаря Ричарду Фейнману, который использовал это тождество именно под этим именем. Фейнман употреблял это название потому, что в детстве он узнал указанное тождество от мальчика по имени Мори Якобс и впоследствии запомнил теорему на всю жизнь именно под этим именем.^[1]

Подобное соотношение для синуса также имеет место:

$\sin(20^\circ) \cdot \sin(40^\circ) \cdot \sin(80^\circ)=\frac{\sqrt 3\ }{8}.$

Более того, разделив второе тождество на первое, получим тождество для тангенса:

$\operatorname{tg}(20^\circ) \cdot \operatorname{tg}(40^\circ) \cdot \operatorname{tg}(80^\circ)=\sqrt 3 = \operatorname{tg}(60^\circ). \,$

Доказательство

Используем известную формулу для синуса двойного угла

$\sin(2 \alpha) = 2 \sin(\alpha) \cos(\alpha). \,$

Выразив отсюда $\cos(\alpha)$, получим

$\cos(\alpha)=\frac{\sin(2 \alpha)}{2 \sin(\alpha)}.$

Тогда имеем

$\begin{align} \cos(2 \alpha) & = \frac{\sin(4 \alpha)}{2 \sin(2 \alpha)} \\[6pt] \cos(4 \alpha) & = \frac{\sin(8 \alpha)}{2 \sin(4 \alpha)} \\ & {}\,\,\, \vdots \\ \cos(2^{n-1} \alpha) & = \frac{\sin(2^{n} \alpha)}{2 \sin(2^{n-1} \alpha)}. \end{align}$

Перемножая соответственно левые части этих равенств друг на друга, и правые части - друг на друга, получаем:

$\cos(\alpha) \cos(2 \alpha) \cos(4 \alpha) \cdots \cos(2^{n-1} \alpha)= \frac{\sin(2 \alpha)}{2 \sin(\alpha)} \cdot \frac{\sin(4 \alpha)}{2 \sin(2 \alpha)} \cdot \frac{\sin(8 \alpha)}{2 \sin(4 \alpha)} \cdots \frac{\sin(2^{n} \alpha)}{2 \sin(2^{n-1} \alpha)}.$

После сокращения дробей останется синус из последнего числителя и синус из первого знаменателя, а также 2 в степени n в знаменателе:

$\prod_{k=0}^{n-1} \cos(2^k \alpha)=\frac{\sin(2^n \alpha)}{2^n \sin(\alpha)},$

Это тождество представляет собой общую форму записи теоремы Мори.

Примечания

1. ↑ W.A. Beyer, J.D. Louck, and D. Zeilberger, A Generalization of a Curiosity that Feynman Remembered All His Life, Math. Mag. 69, 43-44, 1996.

Ссылки

• Weisstein, Eric W. Morrie's Law (англ.) на сайте Wolfram MathWorld.