Схема Бернулли

Схема Бернулли

Проводятся n опытов, в каждом из которых может произойти определенное событие («успех») с вероятностью p (или не произойти — «неудача» — q=1-p). Задача — найти вероятность получить m успехов в опыте.

Решение:

P_n(m)=C_n^mp^m(1-p)^{n-m}

Количество успехов — величина случайная, которая имеет распределение Бернулли.

Содержание

Определение

Теперь рассмотрим эту задачу подробнее. Возьмём самый простой стохастический эксперимент с двухэлементным пространством элементарных событий. Одно назовём «успехом», обозначим «1», другое — «неудачей», обозначим «0».

Пусть вероятность успеха 0<p<1, тогда вероятность неудачи 1-p=q.

Рассмотрим новый стохастический эксперимент, который состоит в n-кратном повторении этого простейшего стохастического эксперимента.

Понятно, что пространство элементарных событий \Omega, которое отвечает этому новому стохастическому эксперименту будет  \left \{ \Omega=(a_1,...,a_n)|a_i=\overline{0,1}, i=\overline{1,n}\right\rbrace (1), N(\Omega)=2^n. За \sigma-алгебру событий \mathcal{A} возьмём булеан пространства элементарных событий P(\Omega) (2). Каждому элементарному событию \omega\in\Omega поставим в соответствие число p(\omega)=p^{\sum_{i=1}^n a_i} q^{n-\sum_{i=1}^n a_i}. Если в элементарном событии \omega успех наблюдается k раз, а неудача — (n-k) раз, то p(\omega)=p^k q^{n-k}. Пусть A_k=\{\omega\in\Omega|\sum_{i=1}^n a_i=k\}, k=\overline{0,n}, тогда P(A_k)=\sum_{\omega\in A_k} P(\omega)=C_n^k p^k q^{n-k}. Также является очевидной нормированность вероятности: \sum_{\omega\in\Omega} P(\omega)=\sum_{k=0}^n \sum_{\omega\in A_k} P(\omega)=\sum_{k=0}^n C_n^k p^k q^{n-k}=(p+q)^n=1^n=1.

Поставив в соответствие каждому событию A\in\mathcal{A} числовое значение P(A)=\sum_{\omega\in A} P(\omega) (3), мы найдём вероятность P:\mathcal{A}\to\mathbb{R}. Построенное пространство (\Omega,\mathcal{A},P), где Ω — пространство элементарных событий, определено равенством (1),\mathcal{A} — \sigma-алгебра, определена равенством (2), P — вероятность, определена равенством (3), называется схемой Бернулли для n испытаний.

Набор чисел P_n(k)=C_n^k p^k q^{n-k}, k=\overline{0,n}, n\in\mathbb{N} называется биномиальным распределением.

Расширенное определение

Обычная формула Бернули применима на случай когда при каждом испытании возможно одно из двух cобытий. Формулу Бернулли можно обобщить на случай, когда при каждом испытании происходит одно и только одно из  k>2 событий с вероятностью  p_i (i=1,2,...,k), где  p_i+...+p_k=1 . Вероятность появления  m_1 раз первого события и  m_2 - второго и  m_k раз k-го находится по формуле

P_n(m_1,m_2,...,m_k)= \frac{n!}{m_1! m_2! ... m_k!} {p_1}^{m_1} {p_2}^{m_2}...{p_k}^{m_k} ,

где  n=m_1+m_2+...+m_k.

Свойства

Пусть p - вероятность успеха в схеме Бернулли, q=1-p. Тогда самым вероятным среди событий A_k, k=\overline{0,n}, n\in\mathbb{N} является событие A_{k_0}, где k_0 можно найти с неравенства np-q\le k_0\le np+p.

Теоремы

В особых условиях (при достаточно больших или достаточно малых параметрах) для схемы Бернулли используются приближенные формулы из предельных теорем: теорема Пуассона, локальная теорема Муавра-Лапласа, интегральная теорема Муавра-Лапласа.

Cсылки


Wikimedia Foundation. 2010.

Игры ⚽ Поможем написать реферат

Полезное


Смотреть что такое "Схема Бернулли" в других словарях:

  • Бернулли (семья) — У этого термина существуют и другие значения, см. Бернулли. Семья Бернулли (Bernoulli)  швейцарская протестантская семья, многие члены которой в XVII XVIII веках внесли существенный вклад в науку. В частности, к этой династии принадлежат 9… …   Википедия

  • БЕРНУЛЛИ СХЕМА — то же, что схема Бернулли испытаний …   Математическая энциклопедия

  • Бернулли схема — (названа по имени Я. Бернулли         одна из основных математических моделей для описания независимых повторений опытов, используемых в вероятностей теории (См. Вероятностей теория). Б. с. предполагает, что имеется некоторый опыт S и связанное с …   Большая советская энциклопедия

  • Распределение Бернулли — Функция вероятности …   Википедия

  • УРНОВАЯ СХЕМА — одна из простейших моделей теории вероятностей. Описание У. с. таково: рассматривается некий сосуд урна с шарами белого и черного цвета. Из урны наугад извлекается один шар. а затем он возвращается в урну вместе с сшарами того же цвета, что и… …   Математическая энциклопедия

  • БОЛЬШИХ ЧИСЕЛ УСИЛЕННЫЙ ЗАКОН — одна из форм больших чисел закона (вего общем понимании), утверждающая, что при определенных условиях с вероятностью единица происходит неограниченное сближение средних арифметических последовательности случайных величин с нек рыми постоянными… …   Математическая энциклопедия

  • ПУАССОНА ТЕОРЕМА — 1) П. т. предельная теорема теории вероятностей, являющаяся частным случаем больших чисел закона. П. т. обобщает Бернулли теорему на случай независимых испытаний, вероятность появления в к рых нек рого события зависит от номера испытаний (т. н.… …   Математическая энциклопедия

  • Задача о разорении игрока — Задача о разорении игрока  задача из области теории вероятностей. Подробно рассматривалась российским математиком А. Н. Ширяевым в монографии «Вероятность»[1] …   Википедия

  • ДОСТАТОЧНАЯ СТАТИСТИКА — для семейства распределений вероятностей {Pq; } или для параметра статистика (векторная случайная величина) такая, что для любого события Асуществует вариант условной вероятности Pq( А|Х=x), не зависящий от 9. Это эквивалентно требованию, что… …   Математическая энциклопедия

  • Класс BPP — В теории алгоритмов классом сложности BPP (от англ. bounded error, probabilistic, polynomial) называется класс предикатов, быстро (за полиномиальное время) вычислимых и дающих ответ с высокой вероятностью (причём, жертвуя временем, можно добиться …   Википедия


Поделиться ссылкой на выделенное

Прямая ссылка:
Нажмите правой клавишей мыши и выберите «Копировать ссылку»