Теорема Ньютона

Формула Ньютона — Лейбница или основная теорема анализа даёт соотношение между двумя операциями: взятием определенного интеграла и вычислением первообразной.

Если $\textstyle f$ непрерывна на отрезке $\left [ a,b \right ]$ и $\textstyle \Phi$ — ее любая первообразная на этом отрезке, то имеет место равенство $\int\limits_a^b f(x)dx = \Phi(b) - \Phi(a) = \Bigl.\Phi\Bigl|_a^b$

Доказательство  

Пусть на отрезке $\left [ a,b \right ]$ задана интегрируемая функция $\textstyle f$. Начнем с того, что отметим, что

$\int\limits_a^b f(x)\,dx =\int\limits_a^b f(u)\,du$

то есть не имеет никакого значения, какая буква ($\textstyle x$ или $\textstyle u$) стоит под знаком $\textstyle f$ в определенном интеграле по отрезку $\left [ a,b \right ]$.

Зададим произвольное значение $\textstyle x \in \left [ a,b \right ]$ и определим новую функцию $\textstyle F(x) = \int\limits_a^x f(t) \,dt$. Она определена для всех значений $\textstyle x \in \left [ a,b \right ]$, потому что мы знаем, что если существует интеграл от $\textstyle f$ на $\left [ a,b \right ]$, то существует также интеграл от $\textstyle f$ на $\left [ a,x \right ]$, где $a \leqslant x \leqslant b$. Напомним, что мы считаем по определению

$F(a) = \int\limits_a^a f(t)\,dt = 0$ (1)

Заметим, что

$F(b) = \int\limits_a^b f(t)\,dt$

Покажем, что $\textstyle F$ непрерывна на отрезке $\left [ a,b \right ]$. В самом деле, пусть $x, x + h \in \left [ a,b \right ]$; тогда

$F(x + h) - F (x) = \int\limits_a^{(x+h)} f(t)\,dt - \int\limits_a^x f(t)\,dt = \int\limits_x^{(x+h)} f(t)\,dt$

и если $K = sup |f(t)|, a \leqslant t \leqslant b$, то

$|F(x + h) - F (x)| \leqslant \bigg| \int\limits_x^{(x+h)} f(t)\,dt \bigg| \leqslant K |h|\to 0 , h\to 0$

Таким образом, $\textstyle F$ непрерывна на $\left [ a,b \right ]$ независимо от того, имеет или не имеет $\textstyle f$ разрывы; важно, что $\textstyle f$ интегрируема на $\left [ a,b \right ]$.

На рисунке изображен график $\textstyle f$. Площадь переменной фигуры $\textstyle aABx$ равна $\textstyle F(x)$. Ее приращение $\textstyle F(x + h) - F(x)$ равно площади фигуры $\textstyle xBC(x + h)$, которая в силу ограниченности $\textstyle f$, очевидно, стремится к нулю при $h \to 0$ независимо от того, будет ли $\textstyle x$ точкой непрерывности или разрыва $\textstyle f$, например точкой $\textstyle x - d$.

Пусть теперь функция $\textstyle f$ не только интегрируема на $\left [ a,x \right ]$, но непрерывна в точке $x \in \left [ a,x \right ]$. Докажем, что тогда $\textstyle F$ имеет в этой точке производную, равную

$\textstyle F'(x) = f (x)$ (2)

В самом деле, для указанной точки $\textstyle x$

$\dfrac{F (x+h) - F (x)}{h} = \dfrac{1}{h} \int\limits_x^{x+h} f(t)\,dt = \dfrac{1}{h} \int\limits_x^{x+h} (f(x) +\eta (t)) \,dt$ $=\dfrac{1}{h} \int\limits_x^{x+h} f(x)\,dt + \dfrac{1}{h} \int\limits_x^{x+h} \eta(t)\,dt = f(x)+ o$ (1) ,$h \to 0$ (3)

Мы положили $\textstyle f(t) = f (x) + \eta(t)$, а так как $\textstyle f (x)$ постоянная относительно $\textstyle t$,TO $\textstyle \int\limits_x^{x+h} f(x) \,dt = f(x)h$. Далее, в силу непрерывности $\textstyle f$ в точке $\textstyle x$ для всякого $\textstyle \varepsilon > 0$ можно указать такое $\textstyle \delta$, что $\textstyle |\eta(t)| < \varepsilon$ для $\textstyle |x - t| < \delta$.

Поэтому

$\left | \dfrac{1}{h} \int\limits_x^{x+h} \eta(t)\,dt \right | \leqslant \dfrac{1}{|h|}|h|\varepsilon = \varepsilon , |h| < \delta$

что доказывает, что левая часть этого неравенства есть о(1) при $\textstyle h \to 0$.

Переход к пределу в (3) при $\textstyle h \to 0$ показывает существование производной от $\textstyle F$ в точке $\textstyle x$ и справедливость равенства (2). При $\textstyle x = a,b$ речь здесь идет соответственно о правой и левой производной.

Если функция $\textstyle f$ непрерывна на $\left [ a,b \right ]$, то на основании доказанного выше соответствующая ей функция

$F(x) = \int\limits_a^x f(t)\,dt$ (4)

имеет производную, равную $\textstyle f(x): F'(x) = f(x) , a \leqslant x \leqslant b$. Следовательно, функция $\textstyle F(x)$ есть первообразная для $\textstyle f$ на $\left [ a,b \right ]$.

Это заключение иногда называется теоремой об интеграле с переменным верхним пределом или теоремой Барроу.

Мы доказали, что произвольная непрерывная на отрезке $\left [ a,b \right ]$ функция $\textstyle f$ имеет на этом отрезке первообразную, определенную равенством (4). Этим доказано существование первообразной для всякой непрерывной на отрезке функции.

Пусть теперь $\textstyle \Phi$ есть произвольная первообразная функции $\textstyle f(x)$ на $\left [ a,b \right ]$. Мы знаем, что $\textstyle \Phi(x) = F(x) + C$ , где $\textstyle C$ — некоторая постоянная. Полагая в этом равенстве $\textstyle x = a$ и учитывая, что $\textstyle F(a) = 0$, получим $\textstyle \Phi(a) = C$.

Таким образом, $\textstyle F(x) = \Phi(x) - \Phi(a)$. Но

$\int\limits_a^b f(x) \,dx = F(b)$

Поэтому

$\int\limits_a^b f(x)\,dx = \Phi(b) - \Phi(a) = \Phi(x) \bigg| \begin{matrix}x = a \\ \\ x = b\end{matrix}$

История

Ещё до появления математического анализа данная теорема (в геометрической или механической формулировке) была известна Торричелли, Грегори и Барроу. Например, Барроу описал этот факт в 1670 году как зависимость между задачами на квадратуры и на проведение касательных. После создания Ньютоном и Лейбницем дифференциального и интегрального исчислений смысл формулы стал трактоваться чисто математически: операции дифференцирования и интегрирования взаимно обратны.

Ньютон сформулировал теорему словесно следующим образом: «Для получения должного значения площади, прилегающей к некоторой части абсциссы, эту площадь всегда следует брать равной разности значений z [первообразной], соответствующих частям абсцисс, ограниченным началом и концом площади». У Лейбница запись данной формулы в современном виде также отсутствует, поскольку обозначение определённого интеграла появилось гораздо позже, у Фурье в начале XIX века. Современное оформление и строгое доказательство впервые опубликованы также в начале XIX века Лакруа.

Вариации и обобщения

• Теорема Стокса
• Дискретная теорема Грина

Литература

• Демидович Б.П. Отдел 3. Формула Ньютона — Лейбница // Сборник задач и упражнений по математическому анализу. — 1990. — (Курс высшей математики и математической физики).