Множество Витали

Множество Витали — первый пример множества вещественных чисел, не имеющего меры Лебега. Этот пример, ставший классическим, опубликовал в 1905 году итальянский математик Дж. Витали в своей статье «Sul problema della misura dei gruppi di punti di una retta».

История

Годом ранее статьи Витали, в 1904 году, Анри Лебег опубликовал «Лекции об интегрировании и отыскании примитивных функций», где изложил свою теорию меры и высказал надежду, что она окажется применима к любому ограниченному множеству вещественных чисел. Открытие множества Витали показало, что эта надежда не оправдалась. В дальнейшем были обнаружены и другие контрпримеры, однако их построение всегда существенно опирается на аксиому выбора.

Построение

Рассмотрим следующее отношение эквивалентности $\sim$ на отрезке $[0,\;1]$: $x\sim y$ если разница $x-y$ рациональна. Далее, из каждого класса эквивалентности выберем по представителю — одной точке (здесь мы пользуемся аксиомой выбора). Тогда полученное множество $E$ представителей будет неизмеримым.

Действительно, если сдвинуть $E$ счётное число раз на все рациональные числа из интервала $[-1,1]$, то объединение будет содержать весь отрезок $[0,1],$ но при этом оно будет содержаться в отрезке $[-1,2]$. При этом «сдвинутые копии» множества $E$ не будут пересекаться друг с другом, что непосредственно следует из построения $\sim$ и $E$.

Предположим, что $E$ измеримо по Лебегу, тогда возможны 2 варианта.

• Мера E равна нулю. Тогда мера интервала $[0,1]$, как счётного объединения множеств меры нуль, тоже будет равна нулю.
• Мера E больше нуля. Тогда аналогично заключаем, что мера интервала $[0,1]$, в силу счётной аддитивности меры Лебега, будет бесконечна.

В обоих случаях получается противоречие. Таким образом, множество Витали не измеримо по Лебегу.

Литература

• Брылевская Л. И. К истории проблемы меры в первой половине XX века. // Историко-математические исследования. — М.: Наука, 1986. — № 30. — С. 97-112.
• Гелбаум, Б., Олмстед, Дж. Контрпримеры в анализе = Counterexamples in Analysis. — М.: ЛКИ, 2007. — 258 с. — ISBN 978-5-382-00046-6.
• Ященко И. В. Парадоксы теории множеств. Серия «Библиотека „Математическое просвещение“», выпуск 20, 2002. ISBN 5-94057-003-8