Многообразие Илса

Многообразием Илса — Кейпера называется компактификация евклидова пространства $\mathbb{R}^n$ сферой $S^{\frac {n}{2}}$, где n = 2, 4, 8, и 16.

• n = 2: многообразие Илса — Кейпера диффеоморфно вещественной проективной плоскости $\mathbb{R}P^2$.

Для $n\ge 4$ оно является односвязным и имеет когомологическую структуру

• $n = 4$: комплексной проективной плоскости $\mathbb{CP}^2$,
• $n = 8$: кватернионной проективной плоскости $\mathbb{H}P^2$,
• n = 16: проективной плоскости Кэли $\mathbb{O}P^2$.

Многообразия Илса — Кейпера играют важную роль в теории Морса и в теории слоений.

Свойства

• Теорема Илса — Кейпера.^[1] Пусть $M$ связное замкнутое многообразие размерности $n$ (не обязательно ориентируемое). Предположим, на $M$ существует функция Морса $f:M\to R$ класса гладкости $C^3$, которая имеет ровно три критические точки. Тогда $n=$2, 4, 8 или 16 и $M$ является многообразием Илса — Кейпера.

• Теорема:^[2] Пусть $M^n$ компактное связное многообразие, на котором задано морсовское слоение $F$. Предположим, что число $c$ центров слоения $F$ больше числа седел $s$. Тогда существуют ровно две возможности:
  • $c=s+2$, в этом случае $M^n$ гомеоморфно сфере $S^n$,
  • $c=s+1$, в этом случае $M^n$ является многообразием Илса — Кейпера, причем $n=2,4,8$ и $16$.

См. также

• Кейпер, Николаас (англ.)
• Теорема Риба о сфере
• Теория Морса

Примечания

1. ↑ J. Eells, N. Kuiper, Manifolds which are like projective planes — Pub. I.H.E.S., 14 , 1962, pp. 5–46. [1]
2. ↑ C. Camacho, B. Scardua, On foliations with Morse singularities. — Proc. Amer. Math. Soc., 136, 2008, pp. 4065–4073[2]