ЛАГРАНЖА УРАВНЕНИЯ


ЛАГРАНЖА УРАВНЕНИЯ
ЛАГРАНЖА УРАВНЕНИЯ

       
1) в гидромеханике — ур-ния движения жидкости (газа) в переменных Лагранжа, к-рыми являются координаты ч-ц среды. Получены франц. учёным Ж. Лагранжем (J. Lagrange; ок. 1780). Из Л. у. определяется закон движения ч-ц среды в виде зависимостей координат от времени, а по ним находятся траектории, скорости и ускорения ч-ц. Обычно этот путь исследования оказывается достаточно сложным, и при решении большинства гидромеханич. задач используют Эйлера уравнения гидромеханики. Л. у. применяют гл. обр. при изучении колебат. движений жидкости.
Л. у. являются ур-ниями в частных производных и имеют вид:
ЛАГРАНЖА УРАВНЕНИЯ
где t — время, х, у, z — координаты ч-цы, a1, а2, а3 — параметры, к-рыми отличаются ч-цы друг от друга (напр., начальные координаты ч-ц), X, Y, Z — проекции объёмных сил, р — давление, r — плотность.
Решение конкретных задач сводится к тому, чтобы, зная X, Y, Z, а также начальные и граничные условия, найти х, у, z, р, r как функции t и a1, a2, a3. При этом надо использовать ещё неразрывности уравнение (тоже в переменных Лагранжа) и ур-ние состояния в виде r=f(р) (для несжимаемой жидкости r=const).
2) В общей механике — ур-ния, применяемые для изучения движения механич. системы, в к-рых за величины, определяющие положение системы, выбирают независимые между собой параметры, наз. обобщёнными координатами. Получены Ж. Лагранжем в 1760.
Движение механич. системы можно изучать, используя или непосредственно ур-ния, к-рые даёт 2-й закон динамики, или получаемые как следствия из законов динамики общие теоремы (см. ДИНАМИКА). В первом случае необходимо решать большое число ур-ний, зависящее от числа точек и тел, входящих в систему; кроме того, эти ур-ния содержат дополнит. неизвестные в виде реакций наложенных связей (см. СВЯЗИ МЕХАНИЧЕСКИЕ). Всё это приводит к большим матем. трудностям. Второй путь требует применения каждый раз разных теорем и для сложных систем приводит в итоге к тем же трудностям.
Л. у. дают для широкого класса механич. систем единый и достаточно простой метод составления ур-ний движения. Большое преимущество Л. у. состоит в том, что число их равно числу степеней свободы системы и не зависит от кол-ва входящих в систему точек и тел. Напр., машины и механизмы состоят из многих тел (деталей), а имеют обычно одну-две степени свободы; следовательно, изучение их движения потребует составления лишь одного-двух Л. у. Кроме того, при идеальных связях из Л. у. автоматически исключаются все неизвестные реакции связей. По этим причинам Л. у. широко используются при решении мн. задач механики, в частности в динамике машин и механизмов, в теории колебаний, теории гироскопа. В случае, когда на систему действуют только потенциальные силы, Л. у. приводятся к виду, позволяющему использовать их (при соответствующем обобщении понятий) не только в механике, но и в др. областях физики.
Для голономных систем Л. у. в общем случае имеют вид:
(d/dt)(дT/дq'i)-дT/дT/qi=Qi (i=1, 2, 3,...n) (1)
где qi — обобщённые координаты, число к-рых равно числу n степеней свободы системы, q'i — обобщённые скорости, Qi — обобщённые силы, Т — кннетич. энергия системы, выраженная через qi и q'i.
Для составления ур-ний (1) надо найти выражение Т (qi, q'i,t) и определить по заданным силам Qi. После подстановки Т в левые части ур-ния (1) будут содержать координаты qi и их первые и вторые производные по времени, т. е. будут дифф. ур-ниями 2-го порядка относительно qi. Интегрируя эти ур-ния и определяя постоянные интегрирования по начальным или краевым условиям, находят зависимости qi(t), т. <е. закон движения системы в обобщённых координатах.
Когда на систему действуют только потенц. силы, Л. у. принимают вид:
(d/dt)(дL/дq'i)-дL/дqi=0 (i=1, 2,...,n) (2)
где L= Т -П — т. н. Лагранжа функция, а П — потенц. энергия системы. Эти ур-ния используются и в др. областях физики — электродинамике, статистич. физике и др.
Ур-ния (1) и (2) наз. ещё Л. у. 2-го рода. Кроме них, есть Л. у. 1-го рода, имеющие вид обычных ур-ний в декартовых координатах, но содержащие вместо реакций связей пропорциональные им неопределённые множители. Особыми преимуществами эти ур-ния не обладают и используются редко, гл. обр. для отыскания реакций связей, когда закон движения системы найден другим путём, напр. с помощью ур-ний (1) или (2).

Физический энциклопедический словарь. — М.: Советская энциклопедия. . 1983.

ЛАГРАНЖА УРАВНЕНИЯ

гидромеханики - дифференциальные ур-ния движения частиц несжимаемой идеальной жидкости в переменных Лагранжа (см. Гидроаэромеханика), имеющие вид

2541-29.jpg

где t - время, х, у, z - координаты частицы жидкости, a1, а 2, а3 - параметры, с помощью к-рых отличают частицы среды друг от друга (этими параметрами могут быть значения координат х0, у0,z0 в нек-рый момент времени t0), X, У, Z - проекции объёмных сил, р - давление, 2541-30.jpg- плотность. Получены Ж. Лагранжем (J. Lagrange) ок. 1780.

Решение общей задачи гидромеханики в переменных Лагранжа сводится к тому, чтобы, зная X, У, Z, а также начальные и граничные условия, определить х, у, z, р,2541-31.jpgкак ф-ции времени и параметров al,a2, a3. Для решения этой задачи необходимо к ур-ниям (1) присоединить ур-ние неразрывности, имеющее в переменных Лагранжа вид и ур-ние состояния 2541-33.jpg=f (р) для баротропного движения или 2541-34.jpg= const для несжимаемой жидкости. Если зависимости х, у, z от al, a2, a3, t найдены, то траектории, скорости и ускорения частиц определяются обычными методами кинематики точки.

2541-32.jpg


Обычно при решении задач гидромеханики пользуются Эйлера уравнениями. Л. у. применяются гл. обр. при изучении нестационарных движений, в частности колебат. движений жидкости, в нек-рых вопросах теории турбулентности.

Лит. см. при ст. Гидроаэромеханика. С. М. Таре.

Физическая энциклопедия. В 5-ти томах. — М.: Советская энциклопедия. . 1988.


.

Смотреть что такое "ЛАГРАНЖА УРАВНЕНИЯ" в других словарях:

  • ЛАГРАНЖА УРАВНЕНИЯ — механики. 1) Лагранжа уравнения 1 го рода дифференциальные ур ния движения механич. системы, к рые даны в проекциях на прямоугольные координатные оси и содержат т. н. множители Лагранжа. Получены Ж. Лагранжем в 1788. Для голономной системы,… …   Физическая энциклопедия

  • Лагранжа уравнения — в аэро и гидродинамике (по имени Ж. Л. Лагранжа) система трёх уравнений, выражающая закон сохранения импульсов (см. Сохранения законы) при движении идеальной жидкости, записанная в так называемых переменных ЛАгранжа t, a1, a2, а3. Л. у.… …   Энциклопедия техники

  • Лагранжа уравнения —          1) в гидромеханике уравнения движения жид кой среды, записанные в переменных Лагранжа, которыми являются координаты частиц среды. Из Л. у. определяется закон движения частиц среды в виде зависимостей координат от времени, а по ним… …   Большая советская энциклопедия

  • ЛАГРАНЖА УРАВНЕНИЯ — механики обыкновенные дифференциальные уравнения 2 го порядка, описывающие движения механич. систем под действием приложенных к ним сил. Л. у. установлены Ж. Лаг ранжем [1] в двух формах: Л. у. 1 го рода, или уравнения в декартовых координатах с… …   Математическая энциклопедия

  • Лагранжа уравнения — в аэро и гидродинамике (по имени Ж. Л. Лагранжа) — система трёх уравнений, выражающая закон сохранения импульсов (см. Сохранения законы) при движении идеальной жидкости, записанная в так называемых переменных Лагранжа t, a1, a2, a3.… …   Энциклопедия «Авиация»

  • Лагранжа уравнения — в аэро и гидродинамике (по имени Ж. Л. Лагранжа) — система трёх уравнений, выражающая закон сохранения импульсов (см. Сохранения законы) при движении идеальной жидкости, записанная в так называемых переменных Лагранжа t, a1, a2, a3.… …   Энциклопедия «Авиация»

  • Уравнения Лагранжа — Уравнения Лагранжа: Уравнения Эйлера Лагранжа Уравнения Лагранжа первого рода Уравнения Лагранжа второго рода Уравнение Лагранжа Даламбера …   Википедия

  • ЛАГРАНЖА ФУНКЦИЯ — (кинетический потенциал), характеристич. функция L(qi, q i, t) механич. системы, выраженная через обобщённые координаты qi, обобщённые скорости q i и время t. В простейшем случае консервативной системы Л. ф. равна разности между кинетич. Т и… …   Физическая энциклопедия

  • Уравнения Лагранжа первого рода — У этого термина существуют и другие значения, см. Уравнения Лагранжа. Уравнения Лагранжа первого рода  дифференциальные уравнения движения механической системы, записанные в декартовых координатах и содержащие множители Лагранжа. Уравнения… …   Википедия

  • Уравнения движения — Уравнение движения (уравнения движения) уравнение или система уравнений, задающие закон эволюции механической или сходной динамической системы (например, поля) во времени[1]. Эволюция физической системы однозначно определяется уравнениями… …   Википедия

Книги

Другие книги по запросу «ЛАГРАНЖА УРАВНЕНИЯ» >>


Поделиться ссылкой на выделенное

Прямая ссылка:
Нажмите правой клавишей мыши и выберите «Копировать ссылку»

We are using cookies for the best presentation of our site. Continuing to use this site, you agree with this.