Категория Люстерника

Категория Люстерника — Шнирельмана — характеристика топологического пространства $X$ — минимальное число $\operatorname{cat}X$ таких замкнутых множеств, которыми можно покрыть $X$ и каждое из которых может быть стянуто в точку посредством непрерывной деформации в $X$. Категория Люстерника—Шнирельмана является гомотопическим инвариантом.

Категория имеет важное значение для вариационного исчисления, так как она оценивает снизу число стационарных (критических) точек гладкой функции на замкнутом многообразии.

Вычисление

Не имеется общих методов вычисления категории, хотя известно её значение для некоторых конкретных пространств.

• $\operatorname{cat}\,\R \mathrm P^n=n+1$, где $\R \mathrm P^n$ обозначает $n$-мерное вещественное проективное пространство.
• $\operatorname{cat}X>\operatorname{long} X,$ где когомологическая длина $\operatorname{long}X$ определяется как наибольшее число классов когомологий положительной размерности, произведение которых отлично от нуля.

История

Категория была введена Люстерником в 1931 при решении ряда задач, в том числе задачи о трёх замкнутых геодезических на поверхностях, гомеоморфных двумерной сфере. Он же впервые вычислил её для вещественного проективного пространства. Позже, совместно со Шнирельманом, категория была использована для доказательства гипотезы Пуанкаре о существовании трёх замкнутых геодезических на выпуклых телах.