- Нётеров оператор
-
Нётеровым оператором называется оператор, у которого и ядро, и коядро конечномерны.
Содержание
Определение
Пусть X, Y — банаховы пространства. Оператор
называют нётеровым, если
Нётеровость оператора обычно обозначают как
. В конченомерных X,Y, например, любой линейный оператор является нётеровым.
Следует также отметить, что в силу своего определения, нётеров оператор всегда нормально разрешим.
Индекс нётерова оператора
Для таких операторов имеет смысл понятие индекса оператора:
Более того, для каждого конкретно заданного
существует нётеров оператор с индексом n.
Фредгольмовы операторы
Оператор T называется фредгольмовым, если
Например, любой непрерывно обратимый линейный оператор, обладает ядром и коядром нулевых размерностей, а посему является фредгольмовым.
Данный класс нётеровых операторов обладает особыми свойствами, и поэтому часто рассматривается отдельно.
Преобразования нётеровых операторов
- Сопряженный к нётерову оператору тоже нётеров:
. Более того, существует взаимооднозначная связь между индексами этих операторов:
- Композиция нётеровых операторов — нётеров оператор, а индекс его есть
(теорема Аткинсона)
- Компактное возмущение сохраняет нётеровость и индекс оператора:
- Нётеровость и индекс также сохраняются при достаточно малых ограниченных возмущениях, то есть
. Иначе говоря, множество
является открытым в множестве
ограниченных операторов.
Теорема Фредгольма
— фредгольмов (здесь
— тождественный оператор на X).
Критерии нётеровости
- Критерий Нётера: T — нётеров
— правый и левый регуляризаторы для T. В эквивалентной формулировке это звучит как: T нётеров если, и только если T почти обратим.
- Критерий Никольского: T — нётеров тогда, и только тогда, когда T разложим в сумму S+K, где S — обратим, а K — компактен. Или, что то же самое:
, где
— множество обратимых линейных операторов.
Литература
- Кутателадзе С. С. Основы функционального анализа. — 3-е изд. — Новосибирск: Изд-во Ин-та математики, 2000. — 336 с. — ISBN 5-86134-074-9.
Категория:- Функциональный анализ
Wikimedia Foundation. 2010.