Изодиаметрическое неравенство

Изодиаметрическое неравенство (также Изодиаметрическое неравенство Бибербаха) — неравенство в теории меры.

Формулировка неравенства

Пусть $|\cdot|^*$ — внешняя мера Лебега на $\R^n$. Тогда для любого $A\subset\R^n$ выполняется неравенство

$|A|^* \leqslant \omega_n\left(\frac{1}{2}\text{diam} A\right)^n$,

где

$\omega_n = \frac{\pi^{\alpha/2}}{\Gamma(\frac{\alpha}{2}+1)}$ —

объём n-мерного единичного шара, $\text{diam}A$ — диаметр множества $A$ в стандартной евклидовой метрике на $\R^n$:

$\text{diam}A = \sup_{x,y\in A}|x-y|$.

В частном случае, при $n = 2$, получаем интересный факт, что площадь $S$ плоской фигуры оценивается следующим образом:

$S \leqslant \pi r^2,$

где $r = \frac{1}{2}d$ — половина диаметра фигуры (в общем случае, как известно, радиус плоской фигуры колеблется в пределах $[0.5d,\, d]$, и равен половине диаметра только в тривиальных случаях).

Источники

• Берже М. — «Геометрия. Том 1». В советском издании 1984 года см. стр. 324, пункт 9.13.8. Электронная версия — http://reslib.com/book/Geometriya__Tom_1
• Гариепи Р.Ф., Эванс Л.К. — «Теория меры и тонкие свойства функций». В российском издании 2002 года см. стр. 54, пункт 2.2.

См. также

• Изопериметрическая задача