Дифференциальное включение

Дифференциальное включение — обобщение понятия дифференциального уравнения:

$\frac{dx}{dt} \in F(t,x), \qquad (*)$

где правая часть (*) есть многозначное отображение, ставящее в соответствие каждой паре переменных $t \in \mathbb{R}$ и $x \in \mathbb{R}^n$ непустое компактное множество $\,F(t,x)$ в пространстве $\mathbb{R}^n.$ Решением дифференциального включения (*) обычно называют абсолютно непрерывную функцию $\,x(t),$ которая удовлетворяет данному включению при почти всех значениях $\,t.$ Такое определение решения связано, прежде всего, с приложениями дифференциальных включений в теории управления.

Зарождение теории дифференциальных включений связывают обычно с именем польского математика Станислава Заремба (работы около 1936 года), однако широкий интерес к ним возник только после открытия принципа максимума Понтрягина и связанным с ним интенсивным развитием теории оптимального управления. Дифференциальные включения используются также как инструмент исследования дифференциальных уравнений с разрывной правой частью (А. Ф. Филиппов) и в теории дифференциальных игр (Н. Н. Красовский).

Пример

Рассмотрим управляемую систему

$\frac{dx}{dt} = f(t,x,u), \quad u(t) \in U, \qquad (**)$

где $U \subset \mathbb{R}^m$ есть некоторое компактное подмножество. Систему (**) можно записать в виде дифференциального включения (*), положив $F(t,x)=f(t,x,U)= \{f(t,x,u) \ : \ \forall u\in U\}$. При довольно общих предположениях управляемая система (**) эквивалентна дифференциальному включению (*), т.е. для любого решения $x(t)\,$ включения (*) существует такое допустимое управление $u(t) \in U,$ что функция $x(t)\,$ будет являться траекторией системы (**) с этим управлением.

Связанные понятия

Контингенция (контингентная производная) и паратингенция — обобщения понятия производной, введённые в 1930-х годах.

Контингенцией вектор-функции $x(t)\,$ в точке $t_0\,$ называется множество $\textrm{Cont}\ x(t_0)\,$ всех предельных точек последовательностей

$\frac{x(t_i)-x(t_0)}{t_i-t_0}, \quad t_i \to t_0, \quad i=1,2,\ldots$

Паратингенцией вектор-функции $x(t)\,$ в точке $t_0\,$ называется множество $\textrm{Parat}\ x(t_0)\,$ всех предельных точек последовательностей

$\frac{x(t_i)-x(t_j)}{t_i-t_j}, \quad t_i \to t_0, \quad t_j \to t_0, \quad i=1,2,\ldots$

Контингенция и паратингенция представляют собой примеры многозначных отображений. Например, для функции $x(t)=|t|$ в точке $t_0=0$ множество $\textrm{Cont}\ x(0)$ состоит из двух точек: $\pm 1,$ а множество $\textrm{Parat}\ x(0)$ является отрезком $[-1,+1].\,$

Вообще, всегда $\textrm{Cont} \subset \textrm{Parat}$. Если существует обычная производная $\,x'(t_0),$ то $\textrm{Cont} \ x(t_0) = x'(t_0),$ а если обычная производная $\,x'(t)$ существует в некоторой окрестности точки $t_0$ и непрерывна в самой этой точке, то $\textrm{Cont}\ x(t_0)= \textrm{Parat} \ x(t_0) = x'(t_0)$.

Литература

• Борисович Ю. Г., Гельман Б. Д., Мышкис А. Д., Обуховский В. В. Введение в теорию многозначных отображений и дифференциальных включений, — Любое издание.
• Благодатских В. И. Введение в оптимальное управление, — Высшая школа, Москва, 2001.
• Благодатских В. И., Филиппов А. Ф. Дифференциальные включения и оптимальное управление, — Тр. МИАН, т.169 (1985).
• Иоффе А. Д., Тихомиров В. М. Теория экстремальных задач, — Физматлит, Москва, 1974.
• А. Ф. Филиппов. О некоторых вопросах оптимального регулирования. — Вестник МГУ, Матем. и мех., N2 (1959).
• А. Ф. Филиппов. Дифференциальные уравнения с разрывной правой частью. — М.: Наука, 1985.