- Симметрическая группа
-
Симметрической группой множества X называется группа всех перестановок X (то есть биекций X →X) относительно операции композиции.
Симметрическая группа множества X обычно обозначается S(X). Если X = {1, 2,…, n}, то S(X) также обозначается через Sn.
Нейтральным элементом в симметрической группе является тождественная перестановка , определяемая как тождественное отображение:
- для всех x из X.
Содержание
Связанные определения
- Подгруппа симметрической группы S(X) называется группой перестановок (подстановок) X[1].
- Коммутантом Sn является знакопеременная группа An.
Свойства
- При симметрическая группа Sn некоммутативна.
- При симметрическая группа Sn является неразрешимой (и напротив: при — разрешимой).
- В случае, если X конечно, число элементов S(X) равно n! (факториал n), где n — число элементов X. В частности,
- Каждая конечная группа G изоморфна некоторой подгруппе группы S(G) (теорема Кэли).
- Симметрическая группа Sn допускает следующее задание:
- (Можно считать, что переставляет i и i+1.)
См. также
- PQ дерево — структура данных, используемая для представления симметрической группы.
Примечания
- ↑ Айгнер М. Комбинаторная теория. М.: Мир, 1982. — 561 с.
Категория:- Теория групп
Wikimedia Foundation. 2010.