Гипотеза Брокара

Гипо́теза Брока́ра — гипотеза теории чисел, утверждающая, что^[1]

Между квадратами подряд идущих простых чисел, за исключением первых двух, всегда найдётся хотя бы 4 простых числа. Иначе говоря, все числа последовательности $\pi(p_{n+1}^2) - \pi(p_n^2)$, кроме первого, не меньше 4, где $\pi(x)$ — количество простых чисел, меньших $x$.

n	$p_n$	$p_n^2$	Простые числа	$\Delta$
1	2	4	5, 7	2
2	3	9	11, 13, 17, 19, 23	5
3	5	25	29, 31, 37, 41, 43, 47	6
4	7	49	53, 59, 61, 67, 71…	15
5	11	121	127, 131, 137, 139, 149…	9
$\Delta$ обозначает $\pi(p_{n+1}^2) - \pi(p_n^2)$.

На начало 2011 года не доказана и является одной из открытых математических проблем. Верна для первых 10 тыс. простых чисел, см. сдвинутую на один вправо последовательность последовательность A050216 в OEIS: 2, 2 (№ 1), 5, 6, 15, 9, 22, 11, 27, 47, 16, 57, 44…

Гипотеза Лежандра

Схожая и тоже недоказанная гипотеза Лежандра, также называемая третьей проблемой Ландау, утверждает, что^[2]

Между квадратами натуральных чисел всегда найдётся простое число, или, что равносильно, функция $\pi(n^2)$ строго возрастает с ростом $n$.

Примечания

1. ↑ Weisstein, Eric W. Гипотеза Брокара (англ.) на сайте Wolfram MathWorld.
2. ↑ Weisstein, Eric W. Гитотеза Лежандра (англ.) на сайте Wolfram MathWorld.