Гипотеза Зарисского

Гипотеза Зарисского

Обозначим через $C[X_1, X_2, ..., X_n]$ множество всех многочленов с комплексными коэффициентами от переменных $X_1, X_2, ..., X_n$. Пусть в $C[X_1, X_2, ..., X_n]$ выбрано подмножество A, содержащее все константы С и обладающее следующими свойствами: если $f,g \in A$, то $f - g$ и $fg$ лежат в A. Предположим, что существует такой многочлен $T \in C[X_1, X_2, ... X_m]$, что каждый элемент f из $C[X_1, X_2, ... X_m]$ представляется в виде многочлена $f=a_0+a_1T+a_2T^2+...+a_mT^m, a_0, a_1,...a_m \in A,$, где m зависит от f. Гипотеза Зарисского утверждает, что найдутся такие многочлены $T_1, T_2, ..., T_{n-1} \in C[X_1, X_2, ... X_m]$, что каждый элемент f из $C[X_1, X_2, ... X_m]$ представляется в виде многочлена от $T_1, T_2, ..., T_{n-1}, T$. Гипотеза Зарисского доказана для n=2 и n=3. Для случая n>3 её никому доказать не удалось.

Литература

• В.А. Артамонов О решённых и открытых проблемах в теории многочленов. Соросовский образовательный журнал, т. 7, н. 3, 2001