- Гамма-функция
-
Гамма-функция — математическая функция, которая расширяет понятие факториала на поле комплексных чисел. Обычно обозначается
.
Была введена Леонардом Эйлером, а своим обозначением гамма-функция обязана Лежандру.
Содержание
Определения
Интегральное определение
Если вещественная часть комплексного числа
положительна, то Гамма-функция определяется через интеграл
На всю комплексную плоскость функция аналитически продолжается через тождество
Последующие выражения служат альтернативными определениями Гамма-функции.
Определение по Гауссу
Оно верно для всех комплексных
, за исключением 0 и отрицательных целых чисел
Определение по Эйлеру
Определение по Вейерштрассу
где
— постоянная Эйлера — Маскерони.
Замечания
- Интеграл выше сходится абсолютно, если вещественная часть комплексного числа
положительна.
- Применяя интегрирование по частям, можно показать, что тождество
- выполняется для подынтегрального выражения.
- А поскольку
, для всех натуральных чисел
является мероморфной на комплексной плоскости и имеющей полюса в точках
Связанные определения
- Иногда используется альтернативная запись, так называемая пи-функция, зависящая от гамма-функции следующим образом:
.
- В интеграле выше, определяющем гамма-функцию, пределы интегрирования фиксированы. В неполной гамма-функции допускается, чтобы верхний либо нижний предел интегрирования был переменным. Неполную гамма-функцию часто обозначают как гамма-функцию от двух аргументов:
.
Свойства
- формула дополнения
.
- Наиболее известные значения гамма-функции от нецелого аргумента это
- Гамма-функция имеет полюс в
для любого натурального
и нуля; вычет в этой точке задается так
.
- Следующее бесконечное произведение для гамма-функции, как показал Вейерштрасс, верно для всех комплексных
, не являющихся неположительными целыми:
,
- где
— это константа Эйлера.
- формула, полученная Гауссом:
.
- Основное, но полезное свойство, которое может быть получено из предельного определения:
.
- Гамма-функция дифференцируема бесконечное число раз, и
, где
часто называют «пси-функцией», или дигамма-функцией.
- Гамма-функция и бета-функция связаны следующим соотношением:
.
См. также
Для улучшения этой статьи желательно?: - Найти и оформить в виде сносок ссылки на авторитетные источники, подтверждающие написанное.
Категория:- Специальные функции
Wikimedia Foundation. 2010.