Гамма-функция

        [Г-функция, Г (х)], одна из важнейших специальных функций, обобщающая понятие факториала; для целых положительных n равна Г (n) = (n - 1)! = 1·2... (n - 1). Впервые введена Л. Эйлером в 1729. Г.-ф. для действительных х > 0 определяется равенством

        

         другое обозначение:

         Г (х + 1) = π(x) = х!

         Основные соотношения для Г.-ф.:

         Г (х + 1) = хГ (х) (функциональное уравнение);

         Г (х) Г (1 - х) = π/sin πx (формула дополнения);

        

         Частные значения:

        

         При больших х справедлива асимптотич. Стирлинга формула

        

         Через Г.-ф. выражается большое число определённых интегралов, бесконечных произведений и сумм рядов. Г.-ф. распространяется и на комплексные значения аргумента.

         Лит.: Янке Е., Эмде Ф., Таблицы функций с формулами и кривыми, пер. с нем., 3 изд., М., 1959; Фихтенгольц Г. М., Курс дифференциального и интегрального исчисления, 6 изд., т. 2, М., 1966.