Точная верхняя и нижняя границы множеств

Точная верхняя граница (верхняя грань) и точная нижняя граница (нижняя грань) — обобщение понятий максимума и минимума множества соответственно.

Используемые определения

Мажоранта или верхняя грань (граница) множества $~X$ — число $~a$, такое что $\forall x\in X \Rightarrow x\leqslant a$.
Миноранта или нижняя грань (граница) множества $~X$ — число $~b$, такое что $\forall x\in X \Rightarrow x\geqslant b$

Определения

Точной (наименьшей) верхней гранью (границей), или супре́мумом (лат. supremum — самый высокий) подмножества $X$ упорядоченного множества (или класса) $M$, называется наименьший элемент $M$, который равен или больше всех элементов множества $X$. Другими словами, супремум — это наименьшая из всех верхних граней. Обозначается $\sup X$.

Более формально:

$S_X=\{y\in M\mid\forall x\in X\!:x\leqslant y\}\!$ — множество верхних граней $X$, то есть элементов $M$, равных или больших всех элементов $X$

$s=\sup(X)\iff s\in S_X\and\forall y\in S_X\!:s\leqslant y.$

Точной (наибольшей) нижней гранью (границей), или и́нфимумом (лат. infimum — самый низкий) подмножества $X$ упорядоченного множества (или класса) $M$, называется наибольший элемент $M$, который равен или меньше всех элементов множества $X$. Другими словами, инфимум — это наибольшая из всех нижних граней. Обозначается $\inf X$.

Замечание

Эти определения ничего не говорят о том, принадлежит ли $\sup X$ и $\inf X$ множеству $X$ или нет.

В случае $s=\sup X\in X$, говорят, что $s$ является максимумом $X$, то есть $s=\max_{x \in X} x$.

В случае $i=\inf X\in X$, говорят, что $i$ является минимумом $X$, то есть $i=\min_{x \in X} x$.

Примеры

• На множестве всех рациональных чисел, больших пяти, не существует минимума, однако существует инфимум. $\inf$ такого множества равен пяти. Инфимум не является минимумом, так как пять не принадлежит этому множеству. Если же определить множество всех натуральных чисел, больших пяти, то у такого множества есть минимум и он равен шести. Вообще говоря, у любого непустого подмножества множества натуральных чисел существует минимум^[1].
• Для множества $S=\left\{\frac{1}{k}\mid k\in\Bbb N\right\}=\left\{1,\;\frac{1}{2},\;\frac{1}{3},\;\ldots\right\}$

$\sup S=1$; $\inf S=0$.

• Множество положительных рациональных чисел $\mathbb{Q}_+=\{x\in\mathbb{Q} \mid x>0\}$ не имеет точной верхней грани в $\mathbb{Q}$, точная нижняя грань $\inf\mathbb{Q}_+=0$.
• Множество $X=\{x\in\Bbb Q\mid x^2<2\}$ рациональных чисел, квадрат которых меньше двух, не имеет точных верхней и нижней граней в $\Bbb Q$, но если его рассматривать как подмножество множества действительных чисел, то

$\sup X=\sqrt{2}$ и $\inf X=-\sqrt{2}$.

Теорема о гранях

Формулировка

Непустое множество, ограниченное сверху, имеет верхнюю грань, ограниченное снизу — нижнюю грань. То есть существуют $a$ и $b$ такие, что

$b = \sup X \begin{cases} \forall x, x \in X \Rightarrow x\leqslant b \\ \forall b^', b^' < b \Rightarrow \exists x, x \in X \and x > b^' \end{cases} (1.1)$

$a = \inf X \begin{cases} \forall x, x \in X \Rightarrow x\geqslant a\\ \forall a^', a^' > a \Rightarrow \exists x, x \in X \and x < a^' \end{cases} (1.2)$

Доказательство

Для множества ограниченного сверху. Пусть $\tilde{b}=\tilde{b}_0, \tilde{b}_1 \dots \tilde{b}_n \dots$ — мажоранта множества $~X$, представленная в виде бесконечной десятичной дроби. Множество $~X$ непусто. Запишем все числа $~x$ из $~X$ в виде нормальных десятичных дробей,

$~x=x_0,x_1\dots x_m \dots$.

Множество $~X_0=\{x_0\mid x_0,x_1\dots x_m \dots \in X\}$ непусто и ограниченно сверху числом $\tilde{b_0}$, поэтому существует $~\max X_0=b_0$.

Множество $~X_1$ десятичных чисел вида $~b_0, b_1^'$ таких, что среди элементов $~X$ есть число, представление которого в виде бесконечной десятичной дроби начинается с выражения $~b_0, b_1^'$, непусто и состоит не более чем из десяти элементов, поэтому существует $~X_1=b_0,b_1$.

Допустим, что для некоторого номера $~m$ построено десятичное число $b_0,b_1\dots b_m$ такое, что

1. существует элемент $x \in X$, представление которого в виде бесконечной десятичной дроби начинается с выражения $b_0,b_1\dots b_m$
2. если x — элемент $~X$ с представлением $x = x_0,x_1\dots x_m \dots$, то

$x_0,x_1\dots x_m\leqslant b_0,b_1\dots b_m$.

Обозначим $~X_{m+1}$ множество десятичных чисел вида $b_0,b_1\dots b_m b^'_{m+1}$, которые служат начальными выражениями для элементов множества $~X$. По определению числа $b_0,b_1\dots b_m$ на основании свойства 1 множество $~X_{m+1}$ непусто. Оно конечно, поэтому существует число $b_0,b_1\dots b_m b_{m+1}= \max X_{m+1}$, обладающее свойствами 1-2 с заменой $~m$ на $~m+1$, причем появление $~(m+1)$-ого знака после запятой не влияет на величины предшествующих знаков.

На основании принципа индукции для любого $~n$ оказывается определенной цифра $~b_n$ и поэтому однозначно определяется бесконечная десятичная дробь

$b\equiv b_0,b_1 \dots b_n \dots \in \mathbb R$

Возьмем произвольное число $x \in X, x=x_0,x_1\dots x_n \dots$. По построению числа $b$ для любого номера $n$ выполняется $x_0,x_1\dots x_n\leqslant b_0,b_1\dots b_n$ и поэтому $x \leqslant b$. Следовательно, выполнена верхняя строчка в правой части соотношения 1.1 (смотри формулировку). Следовательно, $b= \sup X$.

Для множества $~X$, ограниченного снизу, рассуждения проводятся аналогично.

Свойства

• По теореме о гранях для любого ограниченного сверху подмножества $\mathbb{R}$, существует $\sup$.
• По теореме о гранях для любого ограниченного снизу подмножества $\mathbb{R}$, существует $\inf$.
• Вещественное число $s$ является $\sup X$ тогда и только тогда, когда
  1. $s$ есть верхняя грань $X$ то есть для всех элементов $x\in X$, $x\leqslant s$.
  2. для любого $\varepsilon>0$ найдётся $x\in X$, такой, что $x+\varepsilon > s$ (то есть к $s$ можно сколь угодно «близко подобраться» из множества $X$)
• Аналогичное утверждение верно для точной нижней грани.

Вариации и обобщения

• Существенный супремум

Простой Пример

Если множество открытое (граница не принадлежит множеству), например: x<5, то 5 - супремум, но не максимум.
Если множество замкнуто (граница принадлежит множеству), например: x≥2, то 2 - минимум и инфимум одновременно.

Литература

• Богданов Ю. С., Кастрица О. А., Сыроид Ю. Б. Математический анализ: Учебное пособие для вузов. — М.: ЮНИТИ-ДАНА, 2003.- С. 11-14. ISBN 5-238-00500-8
• Богданов Ю. С. Лекции по математическому анализу. Ч. 1. — Мн.: Издательство БГУ, 1974. — С. 3—8.

Примечания

1. ↑ Строго говоря, у любого непустого подмножества вполне упорядоченного множества существует в силу принципа фундированности минимум.

Для улучшения этой статьи по математике желательно?: Найти и оформить в виде сносок ссылки на авторитетные источники, подтверждающие написанное. Добавить иллюстрации.