Транспозиция (математика)

В математике, транспозиция — биекция множества в себя, переставляющая местами два элемента этого множества.

Формальное определение

Пусть дано конечное множество $X=\{a_1,a_2,\ldots,a_n\}$, транспозицией на нём называется перестановка (биективная функция из $X$ в $X$) $f$ такая, что существуют индексы $i$ и $j$ такие, что $f(a_i) = a_j$, $f(a_j) = a_i$ и $f(a_k) = a_k$ для всех остальных индексов $k.$

Транспозиция часто представляется в виде цикла $(a_i, a_j).$

Пример

Например, если $X=\{a, b, c, d, e\}$, функция $\sigma$ определена как

$\begin{matrix} \sigma(a)&=&a\\ \sigma(b)&=&e\\ \sigma(c)&=&c\\ \sigma(d)&=&d\\ \sigma(e)&=&b \end{matrix},$

то данная перестановка является транспозицией.

Свойства

Любая перестановка может быть представлена в виде композиции (произведения) транспозиций.

Знак перестановки может быть определен из разложения перестановки в произведение транспозиций: $\sgn(\sigma)=(-1)^m$, где $m$ — число транспозиций в разложении.

См. также

• Перестановка

Для улучшения этой статьи по математике желательно?: Найти и оформить в виде сносок ссылки на авторитетные источники, подтверждающие написанное.