Свободное от квадратов число

В математике элемент r факториального кольца R называется свободным от квадратов, если он не делится на нетривиальный квадрат. Чаще всего рассматриваются свободные от квадратов натуральные числа.

Свободные от квадратов элементы также могут быть охарактеризованы исходя из их разложения на простые сомножители: любой ненулевой элемент r может быть представлен в виде произведения простых элементов

$r=\varepsilon p_1p_2\cdots p_n$,

причем все простые сомножители p_i различны, а $\varepsilon$ - некоторая единица (обратимый элемент) кольца.

Примеры

• Свободные от квадратов целые числа
• Свободные от квадратов многочлены

Свойства натуральных чисел, свободных от квадратов

• r свободно от квадратов $\Leftrightarrow \mu (r)=\pm 1$, где $\mu$ - функция Мёбиуса
• число натуральных чисел, свободных от квадратов, не превосходящих n, асимптотически эквивалентно $\frac{6}{\pi ^2}n+O(\sqrt{n})$.

Литература

Бухштаб А.А. Теория чисел

См. также

Функция Мёбиуса