Квазитрохоида

Квазитрохоида — (от лат. quasi — нечто вроде, как будто, и греч. τροχοειδής — колесообразный) — плоская трансцендентная кривая, по форме напоминающая трохоиду, но отличающаяся тем, что центр вращения перемещается по произвольной траектории, радиус и частота вращения могут изменяться во времени по любому закону.

Квазитрохоиды имеют большое значение и широко используются в технике. Например кривые образуемые круговым движением и одновременно плоско-параллельным перемещением фрезы в станке с ЧПУ; движение летательного аппарата перемещающегося в пространстве и вращающегося вокруг своей оси; траектория заряженной частицы в неоднородном и нестационарном электромагнитном поле.

Уравнение обычной трохоиды на плоскости записывается как:

$\left\{\begin{matrix} x(t)=x_0+v_xt+R\cos(\omega t+\theta_0)\\ y(t)=y_0+v_yt+R\sin(\omega t+\theta_0) \end{matrix}\right.$ (3)

где: $x_0, y_0$ — координаты начального положения центра вращения; $v_x, v_y$ — проекции скорости центра вращения; $\omega$ — циклическая частота вращения; $\theta_0$ — начальная фаза вращения.

Уравнение квазитрохоиды на плоскости записывается как:

$\left\{\begin{matrix} x(t)=x_c(t)+R(t)\cos(\theta(t))\\ y(t)=y_c(t)+R(t)\sin(\theta(t)) \end{matrix}\right.$ (2)

где: $x_c(t), y_c(t)$ — координаты поступательной составляющей (центра вращения); $R(t)$ — радиус вращения; $\theta(t)$ — фаза вращения; $d\theta/dt=\omega(t)$ — угловая частота вращения; Нестационарные параметры $x_c(t), y_c(t), R(t), \theta(t)$ сигнала (2) в общем случае могут изменяться совершенно произвольно.

Для упрощения используется комплексная форма записи параметрических уравнений (2). Полагая $z(t)=x(t)+iy(t)$, можно записать:

$z(t)=z_c(t)+R(t)\exp \left( i\theta(t) \right)$ (3)

Литература

1. Савелов А. А. Плоские кривые. Систематика, свойства, применения. М.: Изд. Физматлит, 1960
2. Карамов С. В. Оценка параметров и прогноз движения вращающегося объекта имеющего трохоидальную траекторию по видеоизображению // Труды XVI международной конференции по компьютерной графике и ее приложениям «Графикон-2006». Новосибирск, 2006. С. 347—350.
3. Карамов С. В. Алгоритм оценки параметров и экстраполяции двухмерного сигнала имеющего гармоническую составляющую // 9-я Международная конференция и выставка «Цифровая обработка сигналов и ее применение» г. Москва, 2007 г. Т.2, -С 505—508.

См. также

• Циклоида
• Трохоида
• Квазитрохоидальная траектория

Для улучшения этой статьи желательно?: Добавить иллюстрации. Проставить интервики в рамках проекта Интервики.