Течение Пуазёйля

Параболическое распределение скорости при течении Пуазейля. Пропеллеры показывают, что у этого течения ненулевая завихрённость.

Тече́ние Пуазёйля — ламинарное течение жидкости через каналы в виде прямого кругового цилиндра или слоя между параллельными плоскостями. Течение Пуазёйля — одно из самых простых точных решений уравнений Навье — Стокса. Описывается законом Пуазёйля (Хагена — Пуазёйля).

Постановка задачи

Рассматривается установившееся течение несжимаемой жидкости с постоянной вязкостью в тонкой цилиндрической трубке круглого сечения под действием постоянной разности давлений. Если предположить, что течение будет ламинарным и одномерным (иметь только компоненту скорости, направленную вдоль канала), то уравнение решается аналитически, и для скорости получается параболический профиль (часто называемый профилем Пуазёйля) — распределение скорости в зависимости от расстояния до оси канала:

$v\left(r\right) =\frac{p_1-p_2}{4\eta L}(R^2-r^2),$

где

• $v$ — скорость жидкости вдоль трубопровода;
• $r$ — расстояние от оси трубопровода;
• $R$ — радиус трубопровода;
• $p_1-p_2$ — разность давлений на входе и на выходе из трубы;
• $\eta$ — вязкость жидкости;
• $L$ — длина трубы.

Такой же профиль в соответствующих обозначениях имеет скорость при течении между двумя бесконечными параллельными плоскостями. Такое течение также называют течением Пуазёйля.

Закон Пуазёйля (Хагена — Пуазёйля)

Основная статья: Закон Пуазёйля

Уравнение или закон Пуазёйля (закон Хагена — Пуазёйля или закон Хагена — Пуазёйля) — закон, определяющий расход жидкости при установившемся течении вязкой несжимаемой жидкости в тонкой цилиндрической трубе круглого сечения.

Сформулирован впервые Готтхильфом Хагеном (нем. Gotthilf Hagen, иногда Гаген) в 1839 году и вскоре повторно выведен Ж. Л. Пуазёйлем (фр. J. L. Poiseuille) в 1840 году. Согласно закону, секундный объёмный расход жидкости пропорционален перепаду давления на единицу длины трубки (градиенту давления в трубе) и четвёртой степени радиуса (диаметра) трубы:

$Q= \int\limits_{S} v\left(r\right) dS = 2 \pi \int\limits_0^R v\left(r\right) r dr =\frac{\pi D^4 (p_1-p_2)}{128 \eta L}=\frac{\pi R^4 (p_1-p_2)}{8 \eta L},$

где

• $Q$ — расход жидкости в трубопроводе;
• $D$ — диаметр трубопровода;

Закон Пуазёйля работает только при ламинарном течении и при условии, что длина трубки превышает так называемую длину начального участка, необходимую для развития ламинарного течения в трубке.

Свойства

• Течение Пуазёйля характеризуется параболическим распределением скорости по радиусу трубки.
• В каждом поперечном сечении трубки средняя скорость вдвое меньше максимальной скорости в этом сечении.

Применимость на практике

• Для расчета бытовых водопроводов расчет по формуле Пуазёйля дает ошибку в разы, потому что течение в них обычно не ламинарное, а турбулентное и не учитывает шершавость стенок. Лучше использовать специальные калькуляторы.

См. также

• Число Рейнольдса
• Течение Куэтта
• Течение Куэтта — Тейлора

Литература

• Касаткин А. Г. Основные процессы и аппараты химической технологии. — М.: ГХИ, — 1961. — 831 с.

Ссылки

Воларович М.П. Работы Пуазейля о течении жидкости в трубах (К столетию со времени опубликования) // Известия Академии наук СССР. Серия физическая. 1947, Т. 11, № 1