Вероятность попадания случайной величины на заданный участок

Вероятность попадания случайной величины на заданный участок Довольно часто задачи, связанные со случайными величинами, затрагивают те случаи, когда необходимо вычислить вероятность того, что данная случайная величина будет находиться в некоторых пределах, например от α до β. Такое событие называется «попаданием случайной величины X на участок от α до β.

Пусть, для определённости, левый предел α будет включаться в участок (α,β), а правый β нет. Тогда условие попадания случайной величины Х на участок (α,β) эквивалентно выполнению неравенства: α≤X<β

Выразим вероятность этого события через функцию распределения величины Х. Рассмотрим три события:

• событие А, состоящее в том, что Х<β;
• событие В, состоящее в том, что Х<α;
• событие С, состоящее в том, что α≤Х<β.

Учитывая, что А=В+С, по теореме сложения вероятностей получаем:

Р(Х<β)=Р(Х<α)+Р(α≤Х<),

или

F(β)=F(α)+P(α≤X<β),

откуда

P(α≤X<β)=F(β) – F(α),

т. е. вероятность попадания случайной величины на заданный участок равна приращению функции распределения на этом участке.

Будем неограниченно уменьшать участок (α, β), полагая, что β→α. В пределе вместо вероятности попадания на участок получим вероятность того, что величина примет отдельно взятое значение α:

P(X=α)=lim┬(β→α)⁡〖P(α≤X<β)=lim┬(β→α)⁡[F(β)-F(α)] 〗 (*)

Значение этого предела зависит от того, непрерывна ли функция F(x) в точке х=α или же терпит разрыв. Если в точке α функция F(x) имеет разрыв, то предел (*) равен значению скачка функции F(x) в точке α. Если же функция F(x) в точке α непрерывна, то этот предел равен нулю.

Условимся называть «непрерывными» только те случайные величины, функция распределения которых везде непрерывна. Имея это в виду, можно сформулировать следующее утверждение:

Вероятность любого отдельного значения непрерывной случайной величины равна нулю.

Остановимся на этом положении несколько поподробнее. Известны события, вероятности которых были равны нулю: это были невозможные события. Теперь стало видно, что обладать нулевой вероятностью могут не только невозможные, но и возможные события. Действительно, событие Х=α, состоящее в том, что непрерывная случайная величина Х примет значение α, возможно; однако вероятность его равна нулю. Такие события – возможные, но с нулевой вероятностью – появляются только при рассмотрении опытов, не сводящихся к схеме случаев.

Понятие о событии «возможном, но обладающем нулевой вероятностью» кажется на первый взгляд парадоксальным. В действительности оно не более парадоксально, чем представление о теле, имеющем определённую массу, тогда как ни одна из точек внутри тела определённой конечной массой не обладает. Сколь угодно малый объём, выделенный из тела, обладает определённой конечной массой; эта масса приближается к нулю по мере уменьшения объёма и в пределе равна нулю для точки. Аналогично при непрерывном распределении вероятностей вероятность попадания на сколь угодно малый участок может быть отлична от нуля, тогда как вероятность попадания в строго определённую точку в точности равна нулю. Если производится опыт, в котором непрерывная случайная величина Х должна принять одно из своих возможных значений, то до опыта вероятность каждого из таких значений равна нулю; однако, в исходе опыта случайная величина Х непременно примет одно из своих возможных значений, т. е. заведомо произойдёт одно из событий, вероятности которых были равны нулю.

Из того, что событие Х = α имеет вероятность, равную нулю, вовсе не следует, что это событие не будет появляться, т. е. что частота этого события равна нулю. Известно, что частота события при большом числе опытов не равна, а только приближается к вероятности. Из того, что вероятность события Х = α равна нулю, следует только то, что при неограниченном повторении опыта это событие будет появляться сколь угодно редко.

Если событие А в данном опыте возможно, но имеет вероятность, равную нулю, то противоположное ему событие ¯А имеет вероятность, равную единице, но не достоверно. Для непрерывной случайной величины Х при любом α событие Х≠α имеет вероятность, равную единице, однако это событие не достоверно. Такое событие при неограниченном повторении опыта будет происходить почти всегда, но не всегда. Механическая интерпретация сводится к распределению единичной массы не по отдельным точкам, а непрерывно по оси абсцисс, причём ни одна из точек не обладает конечной массой.

Связать^?

На эту статью не ссылаются другие статьи Википедии. Пожалуйста, воспользуйтесь подсказкой и установите ссылки в соответствии с принятыми рекомендациями.