Чезаровское среднее

В математике, чезаровские средние (средние по Чезаро) последовательности $\{a_n\}$ — это средние арифметические первых $n$ членов $\{a_n\}$:

$c_n=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^n a_i$

Понятие названо в честь итальянского математика Эрнесто Чезаро.

Основной результат теории чезаровских средних (см. теорема Штольца) утверждает, что если существует предел последовательности $a_n$, то также существует предел последовательности $c_n$, и они равны:

$\exists \lim_{n\to \infty} a_n=A\Rightarrow \exists \lim_{n\to \infty} c_n=A$.

Тем самым, операция взятия чезаровского среднего обладает свойством регулярности — сохраняет свойство сходимости последовательности и её предел. В то же время, существует множество примеров, когда исходная последовательность не имеет предела, а её чезаровские средние сходятся. (Например, последовательность $a_n=(-1)^n$.) Это позволяет использовать чезаровские средние как один из методов суммирования расходящихся рядов.

Ссылки

• Кириллов А.А., Гвишиани А.Д. Теоремы и задачи функционального анализа.