Соленоид Смейла — Вильямса

Соленоид Смейла — Вильямса

Образ отображения соленоида

Соленоид Смейла — Вильямса — пример обратимой динамической системы, аналогичной по поведению траекторий отображению удвоения на окружности. Более точно, эта динамическая система определена на полнотории, и за одну её итерацию угловая координата удваивается; откуда автоматически возникает экспоненциальное разбегание траекторий и хаотичность динамики. Также соленоидом называют и максимальный аттрактор этой системы (откуда, собственно, и происходит название): он устроен как (несчётное) объединение «нитей», наматывающихся вдоль полнотория.

Определение

Отображением соленоида называют отображение

$F:S^1\times D \to S^1\times D$

полнотория в себя, заданное как

$F(\varphi,z) = (2\varphi, \frac{1}{2}e^{i\varphi} + \frac{1}{10}z).$

Здесь диск D для удобства рассматривается как единичный диск на комплексной плоскости: $D=\{|z|\le 1 \}$.

Максимальный аттрактор A_max(F) этого отображения (как и всю соответствующую динамическую систему) называют соленоидом Смейла — Вильямса.

Свойства

• Отображение соленоида гиперболично.
• Сам соленоид оказывается гомеоморфен множеству, получаемому при реализации процедуры надстройки над одометром — отображением прибавления единицы в 2-адических целых числах $\Z_2$.
• Динамика на соленоиде допускает символическое кодирование: точке соленоида можно (почти взаимно-однозначно) сопоставить двусторонне-бесконечным последовательностям нулей и единиц, причём применению отображения будет соответствовать левый сдвиг на пространстве последовательностей, а часть последовательности с положительными индексами будет являться двоичной записью угловой координаты.

Ссылки

• Аттрактор Смейла — Вильямса на сайте «Саратовской группы нелинейной динамики».

Литература

• Синай Я. Г., Вершик А. М., Добрушин Р. Л., Динамические системы-2, ВИНИТИ.
• А. Б. Каток, Б. Хасселблат Введение в современную теорию динамических систем с обзором последних достижений / пер. с англ. под ред. А. С. Городецкого. — М.: МЦНМО, 2005. — 464 с. — ISBN 5-94057-063-1